Q|C Uma onda senoidal em uma corda é descrita pela função de onda:
onde
e
estão dados em metros e
em segundos. A massa por unidade de comprimento da corda é de
. © Descreva como a força encontrada no item (b) se compara com a tensão na corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda senoidal que descreve uma onda em uma corda. A equação é:
Aqui,
e
estão em metros, e
em segundos. Também sabemos que a massa por unidade de comprimento da corda é de
.
O item © pede para descrever como a força encontrada no item (b) se compara com a tensão na corda. Para isso, vamos precisar entender conceitos de ondas em cordas, como tensão e forças envolvidas. Não precisamos pular nada, então vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma onda em uma corda, a tensão
na corda é o que mantém a corda esticada e permite que a onda se propague. A tensão está relacionada com a força que cada segmento da corda exerce para manter o movimento da onda.
No item (b), provavelmente calculamos a força restauradora que age sobre um segmento da corda devido à curvatura da onda. Essa força restauradora é o que causa a oscilação da corda.
Passo 3
A força restauradora
em um pequeno segmento da corda pode ser relacionada à tensão
e à curvatura da onda. A fórmula geral para a força restauradora em termos da tensão e da segunda derivada da função de onda é:
Aqui,
representa a concavidade da onda naquele ponto, ou seja, como a onda está curvada.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada da função de onda para encontrar
. A função de onda dada é:
Primeiro, derivamos uma vez em relação a
:
Agora, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Passo 5
Agora que temos
, podemos expressar a força restauradora
:
O sinal negativo indica que a força restauradora age na direção oposta à curvatura da onda, ou seja, tenta “endireitar” a corda.
Passo 6
No item ©, precisamos comparar essa força restauradora
com a tensão
na corda. Observamos que a força
é proporcional à tensão
multiplicada por um fator que depende da curvatura da onda.
Isso significa que a força restauradora é diretamente proporcional à tensão na corda. Quanto maior a tensão
, maior será a força restauradora
para uma mesma curvatura da onda.
Além disso, a amplitude da força restauradora também depende do seno da expressão
, o que indica que a força varia conforme a posição e o tempo, refletindo o caráter oscilatório da onda senoidal.
Resposta
A força restauradora encontrada no item (b) é diretamente proporcional à tensão na corda. Isso significa que quanto maior a tensão
, maior será a força
que age para restaurar a corda à sua posição de equilíbrio, conforme a curvatura da onda. Portanto, a força restauradora aumenta com a tensão da corda.