O raio da Terra em repouso pode ser tomado como sendo 6400 km e a sua velocidade orbital em tôrno do Sol de 30 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. De quanto pareceria o diâmetro da Terra encurtado para um observador no Sol, devido ao movimento orbital da Terra?
20. Considere um universo em que a velocidade da luz c=100 \mathrm{mi} / \mathrm{h}. Um Lincoln Continental correndo a uma velocidade v relativa a uma armadilha de velocidade de radar fixa ultrapassa um Volkswagen se movendo a uma velocidade de 50 \mathrm{mi} / \mathrm{h}=c / 2. A velocidade do Lincoln é tal que o seu comprimento é medido pelo observador fixo como sendo o mesmo que o do Volkswagen. De quanto está o Lincoln excedendo o limite da velocidade? O comprimento próprio do Lincoln é o dôbro do do Volkswagen.

Passo 1

Para a primeira parte, precisamos usar o efeito de contração de Lorentz para comprimentos na direção do movimento. O raio próprio da Terra é R=6400 km, o diâmetro próprio é D_{0}=2R, e a Terra move-se a v=30 km/s. Vamos calcular o comprimento contraído D=D_{0}/\gamma, com
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\quad \beta = \frac{v}{c},\quad c=3\times10^{5}\text{ km/s}.

Passo 2

Calculamos primeiro \beta e expandimos \gamma para \beta\ll1:
\beta = \frac{30}{3\times10^{5}} = 1\times10^{-4},
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\approx 1 + \tfrac{1}{2}\beta^{2}\quad(\text{pois }\beta^{2}\ll1).
Logo \gamma\approx 1 + \tfrac12\cdot10^{-8}.

Passo 3

O diâmetro próprio é
D_{0} = 2R = 2\cdot6400 = 12800\text{ km}.
O encurtamento \Delta D = D_{0}-D_{0}/\gamma para \gamma\approx1+\tfrac12\beta^{2}
\Delta D \approx D_{0}\Bigl(1 - \frac{1}{1+\tfrac12\beta^{2}}\Bigr) \approx D_{0}\cdot\frac{\tfrac12\beta^{2}}{1} = 12800\cdot\frac12\cdot10^{-8}=6,4\times10^{-5}\text{ km}.
Convertendo para metros, \Delta D=6,4\times10^{-5}\times10^{3}=0,064 m, isto é, 6,4 cm.

Passo 4

Para a segunda parte, temos dois carros com comprimentos próprios L_{0V} (Volkswagen) e L_{0L}=2L_{0V} (Lincoln). O Volkswagen move-se a v_{V}=c/2, de modo que seu comprimento medido é
L_{V}=L_{0V}\sqrt{1-\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} =L_{0V}\sqrt{\tfrac34}.
Queremos L_{L}=L_{V}, sendo
L_{L}=L_{0L}\sqrt{1-\beta_{L}^{2}} =2L_{0V}\sqrt{1-\beta_{L}^{2}}.
Igualando,
2\sqrt{1-\beta_{L}^{2}}=\sqrt{\tfrac34} \quad\Longrightarrow\quad 1-\beta_{L}^{2}=\frac{3}{16} \quad\Longrightarrow\quad \beta_{L}^{2}=\frac{13}{16},
\beta_{L}=\frac{\sqrt{13}}{4}\approx0,9014,
logo v_{L}\approx0,9014\,c=90{,}14 mi/h.

Passo 5

Assumindo que o limite da via é a velocidade do Volkswagen ( 50 mi/h), o Lincoln excede esse limite em
\Delta v = v_{L}-50 \approx 90{,}14 - 50 = 40{,}14\text{ mi/h}.

Resposta

  1. O diâmetro da Terra aparece encurtado em aproximadamente 6{,}4 cm.
  2. O Lincoln está excedendo o limite em cerca de 40{,}14 mi/h.

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