Um satélite com massa m é colocado em órbita da Terra no Equador. Sabendo-se que o raio e o período de rotação da Terra em torno do seu eixo são, respectivamente, iguais a 6400 km e 24 horas, calcule: © o raio da órbita do satélite para que um observador fixo na Terra, no Equador, veja o satélite parado. Considere a aceleração da gravidade igual a
para o caso em que a distância ao centro da Terra é igual ao raio da Terra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um satélite colocado em órbita no Equador da Terra. Nosso objetivo é encontrar o raio dessa órbita para que, alguém parado na Terra, no Equador, veja o satélite também parado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que se o satélite parecer parado para alguém na Terra, ele deve completar uma órbita exatamente no mesmo período que a Terra gira, ou seja, 24 horas. Isso é o que chamamos de órbita geossincrônica.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do período de uma órbita circular:
Onde:
-
é o período orbital, -
é o raio da órbita, -
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra.
Passo 4
Sabemos que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é:
Onde
é o raio da Terra. Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar
:
Passo 5
Substituindo
na fórmula do período orbital, temos:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar
.
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Passo 8
Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Calculando passo a passo:
-
-
- Multiplicando
- Dividindo por
:
- Tirando a raiz cúbica:
Resposta
O raio da órbita do satélite é aproximadamente 42.164 km a partir do centro da Terra.