Um satélite com massa m é colocado em órbita da Terra no Equador. Sabendo-se que o raio e o período de rotação da Terra em torno do seu eixo são, respectivamente, iguais a 6400 km e 24 horas, calcule: © o raio da órbita do satélite para que um observador fixo na Terra, no Equador, veja o satélite parado. Considere a aceleração da gravidade igual a para o caso em que a distância ao centro da Terra é igual ao raio da Terra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um satélite colocado em órbita no Equador da Terra. Nosso objetivo é encontrar o raio dessa órbita para que, alguém parado na Terra, no Equador, veja o satélite também parado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que se o satélite parecer parado para alguém na Terra, ele deve completar uma órbita exatamente no mesmo período que a Terra gira, ou seja, 24 horas. Isso é o que chamamos de órbita geossincrônica.

Passo 3

Vamos usar a fórmula do período de uma órbita circular:
Onde:
  • é o período orbital,
  • é o raio da órbita,
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra.

Passo 4

Sabemos que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é:
Onde é o raio da Terra. Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar :

Passo 5

Substituindo na fórmula do período orbital, temos:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar .

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Agora, isolamos :

Passo 7

Para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:

Passo 8

Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
Substituindo na fórmula:

Passo 9

Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando
  2. Dividindo por :
  1. Tirando a raiz cúbica:

Resposta

O raio da órbita do satélite é aproximadamente 42.164 km a partir do centro da Terra.

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