Seja
o módulo do impulso de restituição, ou seja, o impulso recebido no intervalo de tempo imediatamente após a compressão. Seja
o módulo do impulso de compressão, ou seja, o impulso recebido no intervalo de tempo da compressão. Deduza uma expressão para o coeficiente de restituição
em função de
e de
. Sugestão: Tome a variação da quantidade de movimento dos dois corpos que colidem, tanto na fase de compressão quanto na fase de restituição (durante a relaxação).
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que a questão tá pedindo. A gente tem dois tipos de impulso aqui:
- Impulso de restituição (
): É o impulso que os corpos recebem logo após a compressão, durante a fase de recuperação. - Impulso de compressão (
): É o impulso que ocorre durante a fase de compressão, quando os corpos estão se aproximando.
O que a gente quer encontrar é uma expressão para o coeficiente de restituição (
) usando esses dois impulsos. O coeficiente de restituição é uma medida de quão elásticos são os choques entre dois corpos, ou seja, que parte da energia é conservada após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de quantidade de movimento e ver como ela varia nas duas fases da colisão: compressão e restituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de movimento (
) de um corpo é dada por:
Onde:
-
é a massa -
é a velocidade
Quando dois corpos colidem, a variação da quantidade de movimento é igual ao impulso aplicado. Vamos analisar as duas fases da colisão:
-
Fase de Compressão:
- Os corpos se aproximam e comprimem.
- O impulso de compressão é
. - Esse impulso muda a quantidade de movimento dos corpos nessa fase.
-
Fase de Restituição:
- Após a compressão, os corpos começam a se separar.
- O impulso de restituição é
. - Esse impulso também altera a quantidade de movimento dos corpos, mas na direção oposta.
Passo 3
Agora, vamos relacionar esses impulsos com o coeficiente de restituição (
). Por definição, o coeficiente de restituição é a razão entre as velocidades relativas após e antes da colisão:
Onde:
-
e são as velocidades dos corpos após a colisão. -
e são as velocidades antes da colisão.
No entanto, como estamos lidando com impulsos, vamos expressar
em termos de
e
.
Passo 4
Durante a colisão, a variação da quantidade de movimento para cada corpo é igual ao impulso recebido. Portanto:
-
Para a compressão:
-
Para a restituição:
Como o impulso de restituição atua na dire��ão oposta ao de compressão, podemos relacionar os dois impulsos com o coeficiente de restituição.
Passo 5
O coeficiente de restituição
pode ser expresso como a razão entre o impulso de restituição e o impulso de compressão:
Isso significa que
mede quão efetivamente o impulso de restituição se compara ao impulso de compressão durante a colisão.
Resposta
O coeficiente de restituição
em função do impulso de restituição
e do impulso de compressão
é dado por: