Seja o módulo do impulso de restituição, ou seja, o impulso recebido no intervalo de tempo imediatamente após a compressão. Seja o módulo do impulso de compressão, ou seja, o impulso recebido no intervalo de tempo da compressão. Deduza uma expressão para o coeficiente de restituição em função de e de . Sugestão: Tome a variação da quantidade de movimento dos dois corpos que colidem, tanto na fase de compressão quanto na fase de restituição (durante a relaxação).

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão tá pedindo. A gente tem dois tipos de impulso aqui:
  • Impulso de restituição ( ): É o impulso que os corpos recebem logo após a compressão, durante a fase de recuperação.
  • Impulso de compressão ( ): É o impulso que ocorre durante a fase de compressão, quando os corpos estão se aproximando.
O que a gente quer encontrar é uma expressão para o coeficiente de restituição ( ) usando esses dois impulsos. O coeficiente de restituição é uma medida de quão elásticos são os choques entre dois corpos, ou seja, que parte da energia é conservada após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de quantidade de movimento e ver como ela varia nas duas fases da colisão: compressão e restituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de movimento ( ) de um corpo é dada por:
Onde:
  • é a massa
  • é a velocidade
Quando dois corpos colidem, a variação da quantidade de movimento é igual ao impulso aplicado. Vamos analisar as duas fases da colisão:
  1. Fase de Compressão:
    • Os corpos se aproximam e comprimem.
    • O impulso de compressão é .
    • Esse impulso muda a quantidade de movimento dos corpos nessa fase.
  2. Fase de Restituição:
    • Após a compressão, os corpos começam a se separar.
    • O impulso de restituição é .
    • Esse impulso também altera a quantidade de movimento dos corpos, mas na direção oposta.

Passo 3

Agora, vamos relacionar esses impulsos com o coeficiente de restituição ( ). Por definição, o coeficiente de restituição é a razão entre as velocidades relativas após e antes da colisão:
Onde:
  • e são as velocidades dos corpos após a colisão.
  • e são as velocidades antes da colisão.
No entanto, como estamos lidando com impulsos, vamos expressar em termos de e .

Passo 4

Durante a colisão, a variação da quantidade de movimento para cada corpo é igual ao impulso recebido. Portanto:
  • Para a compressão:
    ãã
  • Para a restituição:
    çãçã
Como o impulso de restituição atua na dire��ão oposta ao de compressão, podemos relacionar os dois impulsos com o coeficiente de restituição.

Passo 5

O coeficiente de restituição pode ser expresso como a razão entre o impulso de restituição e o impulso de compressão:
Isso significa que mede quão efetivamente o impulso de restituição se compara ao impulso de compressão durante a colisão.

Resposta

O coeficiente de restituição em função do impulso de restituição e do impulso de compressão é dado por:

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