Três partículas de massas iguais se encontram nos vértices de um triângulo equilátero de lado
. Use um sistema de coordenadas em que o eixo
seja coincidente com um dos lados do triângulo, e em que uma das partículas ocupe a origem deste sistema. Determine as coordenadas do vetor posição do centro de massa deste conjunto de partículas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três partículas com massas iguais, posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero com lados de 60 cm. Queremos descobrir as coordenadas do centro de massa desse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de vetores posição e centro de massa, que basicamente é o “ponto médio” onde toda a massa parece estar concentrada.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar o triângulo no sistema de coordenadas. Sabendo que um dos lados está no eixo
e uma das partículas está na origem, temos:
- Partícula 1: Na origem, então as coordenadas são
. - Partícula 2: No outro extremo do lado que está no eixo
, então as coordenadas são .
Agora, precisamos encontrar as coordenadas da terceira partícula. Como o triângulo é equilátero, vamos calcular a altura dele para determinar a posição no eixo
.
Passo 3
A altura
de um triângulo equilátero de lado
é dada por:
Aqui,
cm, então:
Como a terceira partícula está acima do ponto médio do lado no eixo
, suas coordenadas são
.
Passo 4
Agora que temos as coordenadas de todas as partículas:
- Partícula 1:
- Partícula 2:
- Partícula 3:
O centro de massa
para massas iguais é a média das coordenadas:
Resposta
As coordenadas do vetor posição do centro de massa são
cm.