Suponha que um telescópio possa fotografar objetos cuja radiação incidente em seu espelho tenha potência de . O espelho tem diâmetro de . Uma galáxia típica tem luminosidade de . Qual é a distância máxima de uma galáxia típica que pode ser fotografada pelo telescópio?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre como determinar a distância máxima de uma galáxia típica que um telescópio consegue fotografar. O problema envolve conceitos de luminosidade, fluxo de radiação e a lei do inverso do quadrado da distância. Para isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a luminosidade de um objeto, a área do espelho do telescópio e a distância até a galáxia.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a luminosidade ( ) de uma galáxia é a quantidade total de energia que ela emite por segundo, medida em watts (W). O fluxo de radiação ( ) é a quantidade de energia que chega por unidade de área, e ele diminui com o aumento da distância devido à dispersão da luz no espaço.
A relação entre luminosidade, fluxo e distância é dada pela fórmula:
onde:
  • é o fluxo de radiação,
  • é a luminosidade,
  • é a distância até a galáxia.

Passo 3

Sabemos que o telescópio pode detectar uma potência de radiação incidente W no espelho. A área do espelho ( ) é importante porque a potência detectada depende de quanto fluxo está chegando nessa área.
A área de um círculo é dada por:
onde é o diâmetro do espelho.

Passo 4

Vamos calcular a área do espelho do telescópio:

Passo 5

A potência detectada pelo espelho é o fluxo multiplicado pela área:
Queremos que essa potência seja igual à potência mínima que o telescópio pode detectar:

Passo 6

Vamos isolar a distância na equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A distância máxima de uma galáxia típica que pode ser fotografada pelo telescópio é aproximadamente metros.

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