Suponha que um telescópio possa fotografar objetos cuja radiação incidente em seu espelho tenha potência de
. O espelho tem diâmetro de
. Uma galáxia típica tem luminosidade de
. Qual é a distância máxima de uma galáxia típica que pode ser fotografada pelo telescópio?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre como determinar a distância máxima de uma galáxia típica que um telescópio consegue fotografar. O problema envolve conceitos de luminosidade, fluxo de radiação e a lei do inverso do quadrado da distância. Para isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a luminosidade de um objeto, a área do espelho do telescópio e a distância até a galáxia.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a luminosidade (
) de uma galáxia é a quantidade total de energia que ela emite por segundo, medida em watts (W). O fluxo de radiação (
) é a quantidade de energia que chega por unidade de área, e ele diminui com o aumento da distância devido à dispersão da luz no espaço.
A relação entre luminosidade, fluxo e distância é dada pela fórmula:
onde:
-
é o fluxo de radiação, -
é a luminosidade, -
é a distância até a galáxia.
Passo 3
Sabemos que o telescópio pode detectar uma potência de radiação incidente
W no espelho. A área do espelho (
) é importante porque a potência detectada depende de quanto fluxo está chegando nessa área.
A área de um círculo é dada por:
onde
é o diâmetro do espelho.
Passo 4
Vamos calcular a área do espelho do telescópio:
Passo 5
A potência detectada pelo espelho é o fluxo multiplicado pela área:
Queremos que essa potência seja igual à potência mínima que o telescópio pode detectar:
Passo 6
Vamos isolar a distância
na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A distância máxima de uma galáxia típica que pode ser fotografada pelo telescópio é aproximadamente
metros.