O telhado de uma casa é um plano perfeitamente estável que forma um ângulo
com a horizontal. Quando sua temperatura muda, entre
antes do amanhecer todos os dias e
no meio de cada tarde, o telhado se expande e se contrai uniformemente com um coeficiente de expansão térmica
. Repousando no telhado está uma placa de metal plana e retangular com coeficiente de expansão
, maior que
. O comprimento da placa é
, medido ao longo da inclinação do telhado. O componente do peso da placa perpendicular ao telhado é suportado por uma força normal uniformemente distribuída por sua área. O coeficiente de atrito cinético entre a placa e o telhado é
. A placa sempre está à mesma temperatura que o telhado, então, supomos que sua temperatura mude continuamente. Devido à diferença nos coeficientes de expansão, cada parte da placa se move com relação ao telhado abaixo dela, exceto nos pontos ao longo de certa linha horizontal que passa pela placa, chamada linha estacionária. Se a temperatura sobe, partes da placa abaixo da linha estacionária se movem para baixo em relação ao telhado e sentem uma força de atrito cinética atuando no telhado. Elementos da área acima da linha estacionária deslizam para cima no telhado, e o atrito cinético atua sobre eles para baixo, paralelo ao telhado. A linha estacionária não ocupa nenhuma área, então supomos que nenhuma força de atrito estática atue sobre a placa enquanto a temperatura muda. A placa como um todo está muito próxima do equilíbrio, então a força de atrito resultante sobre ela deve ser igual ao componente de seu peso atuando para baixo na inclinação. Analise as forças que atuam sobre a placa quando a temperatura está caindo e prove que a linha estacionária está à mesma distância acima da parte inferior da placa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma placa de metal que tá descansando num telhado inclinado. O telhado e a placa mudam de tamanho quando a temperatura muda, mas com coeficientes diferentes de expansão térmica. A parada envolve entender como as forças de atrito agem quando a temperatura está caindo e provar que a linha onde a placa não desliza fica sempre a mesma distância do fundo da placa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de expansão térmica, forças de atrito e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa coeficiente de expansão térmica. Quando um material esquenta ou esfria, ele se expande ou se contrai. O quanto ele muda de tamanho depende do seu coeficiente de expansão térmica, representado por α. Aqui, a placa tem um coeficiente α₂ maior que o do telhado, α₁, o que significa que a placa se expande ou contrai mais que o telhado com a mesma variação de temperatura.
Passo 3
Como a temperatura está caindo, a placa vai se contrair mais que o telhado. Isso cria um movimento relativo entre a placa e o telhado. Para manter as coisas estáveis, há uma linha na placa, chamada linha estacionária, onde não há movimento relativo. Acima dessa linha, a placa desliza para cima no telhado, e abaixo dela, desliza para baixo.
Passo 4
Agora, precisamos analisar as forças envolvidas. A componente do peso da placa perpendicular ao telhado é suportada por uma força normal distribuída. O atrito cinético, que depende do coeficiente de atrito μ_c, age contra o movimento relativo. Então, se a placa está deslizando, o atrito está tentando parar esse movimento.
Passo 5
Vamos considerar o equilíbrio das forças. A força total de atrito deve equilibrar a componente do peso que age para baixo na inclinação do telhado. Isso significa que a soma das forças de atrito das partes que deslizam para cima e para baixo deve igualar essa componente do peso.
Passo 6
Vamos dividir a placa em duas partes pela linha estacionária. A parte abaixo da linha está deslizando para baixo, então o atrito age para cima. A parte acima está deslizando para cima, então o atrito age para baixo. A força de atrito na parte de baixo é proporcional à área abaixo da linha estacionária, e na parte de cima é proporcional à área acima da linha.
Passo 7
Como a placa está em equilíbrio, as forças de atrito das duas partes devem se equilibrar com a componente do peso. Isso implica que a área de cada lado da linha estacionária deve ser igual para que as forças se cancelem de maneira simétrica.
Passo 8
Portanto, para que as forças se equilibrem corretamente, a linha estacionária precisa estar exatamente no meio da placa. Isso garante que as áreas acima e abaixo da linha sejam iguais, fazendo com que as forças de atrito se equilibram perfeitamente.
Resposta
A linha estacionária está sempre localizada exatamente no meio da placa, à mesma distância acima da parte inferior.