Três partículas estão listadas na tabela. A massa e a velocidade escalar de cada partícula são fornecidas como múltiplos das variáveis m e v, que possuem os valores m=1,20 \times 10^{-8} \mathrm{~kg} e v=0,200 c. A velocidade de propagação da luz no vácuo é igual a c=3,00 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a quantidade de movimento para cada partícula de acordo com a relatividade especial.
Partícula Massa
Velocidade
Escalar
a m v
b \frac{1}{2} m 2 v
c \frac{1}{4} m 4 v

Passo 1

O enunciado dá três partículas com massa e velocidade escalar dadas em múltiplos de m e v, onde \,m=1,20\times10^{-8}\,\mathrm{kg}, \,v=0,200\,c e \,c=3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Pede-se a quantidade de movimento relativística de cada partícula. Vamos usar a fórmula
p=\gamma\,m_{0}\,u
e o fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(u/c)^{2}}}\,.

Passo 2

Identificamos para cada partícula a massa m_{0} e a velocidade u:
a) m_{0}=m,\;u=v
b) m_{0}=\tfrac12\,m,\;u=2v
c) m_{0}=\tfrac14\,m,\;u=4v

Passo 3

Calculamos o fator de Lorentz para cada caso, lembrando que v/c=0,200:
\gamma_{a}=\frac{1}{\sqrt{1-(0,200)^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{0,96}}\approx1,0206,
\gamma_{b}=\frac{1}{\sqrt{1-(0,400)^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{0,84}}\approx1,090,
\gamma_{c}=\frac{1}{\sqrt{1-(0,800)^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{0,36}}=\;1,6667.

Passo 4

Expressamos a quantidade de movimento de cada partícula:
p_{a}=\gamma_{a}\,m\,v,
p_{b}=\gamma_{b}\,\bigl(\tfrac12\,m\bigr)\,(2v) =\gamma_{b}\,m\,v,
p_{c}=\gamma_{c}\,\bigl(\tfrac14\,m\bigr)\,(4v) =\gamma_{c}\,m\,v.

Passo 5

Calculamos m\,v numericamente:
m\,v =(1,20\times10^{-8}\,\mathrm{kg})\times(0,200\times3,00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}) =0,720\;\mathrm{kg\cdot m/s}.
Então
p_{a}\approx1,0206\times0,720=0,735\;\mathrm{kg\cdot m/s},
p_{b}\approx1,090 \times0,720=0,785\;\mathrm{kg\cdot m/s},
p_{c}\approx1,6667\times0,720=1,200\;\mathrm{kg\cdot m/s}.

Resposta

p_{a}\approx0,735\;\mathrm{kg\cdot m/s} p_{b}\approx0,785\;\mathrm{kg\cdot m/s} p_{c}\approx1,200\;\mathrm{kg\cdot m/s}

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