Suponha que a distância em linha reta entre Nova Iorque e São Francisco seja igual a 4,1 \times 10^{6} \mathrm{~m} (desprezando a curvatura da Terra). Um objeto voador não identificado (OVNI) está voando entre essas duas cidades a uma velocidade de 0,70 c em relação à Terra. Qual é essa distância medida pelos viajantes a bordo do OVNI?

Passo 1

O enunciado nos dá a distância em linha reta entre Nova Iorque e São Francisco como 4,1\times10^{6},m no referencial da Terra, e a velocidade do OVNI é v=0,70\,c em relação à Terra. Queremos a distância medida pelos viajantes a bordo, ou seja, aplicar o efeito de contração de comprimentos da Relatividade Restrita.

Passo 2

Na Relatividade Restrita, um comprimento L_{0} medido em repouso em um dado referencial aparece encurtado num referencial onde o objeto se move com velocidade v. A fórmula é
L = \frac{L_{0}}{\gamma},
em que
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}
é o fator de Lorentz.

Passo 3

Calculamos primeiro o fator de Lorentz para v=0,70\,c:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,70)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,49}} = \frac{1}{\sqrt{0,51}} \approx 1,40.

Passo 4

Agora aplicamos a contração de comprimentos, usando L_{0}=4,1\times10^{6},m:
L = \frac{4,1\times10^{6}\,\text{m}}{1,40} \approx 2,93\times10^{6}\,\text{m}.

Resposta

A distância medida pelos viajantes é aproximadamente 2,9\times10^{6},m.

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