Em um trilho de ar horizontal, um flutuador de massa
transporta uma coluna em forma de
. A coluna sustenta uma pequena esfera densa, também de massa
, pendurada logo acima do topo do flutuador em um cabo de comprimento
. O flutuador e a esfera estão inicialmente em repouso com o cabo vertical. (A Figura P9.47a mostra um carrinho e uma esfera similarmente conectados.) Uma força horizontal constante de módulo
é aplicada ao flutuador, que faz um deslocamento
; depois, a força é removida. Durante o intervalo de tempo em que a força é aplicada, a esfera faz um deslocamento com componente horizontal
. (a) Encontre a componente horizontal da velocidade do centro de massa do sistema flutuador-esfera quando a força é removida.
Passo 1
Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema composto por um flutuador (tipo um carrinho) e uma esfera pendurada. Ambos têm a mesma massa
. Uma força horizontal constante
é aplicada ao flutuador, fazendo com que ele se mova e, durante esse movimento, a esfera também se desloca um pouco na horizontal. Quando a força é removida, queremos descobrir qual é a velocidade horizontal do centro de massa desse sistema flutuador-esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Centro de Massa e as Leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa de um sistema é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para fins de análise de movimento. A velocidade do centro de massa depende das forças externas aplicadas ao sistema.
Passo 3
Aqui, a força externa aplicada é a força
na horizontal. Como a esfera está pendurada e apenas a força
está agindo horizontalmente no flutuador, precisamos considerar como essa força afeta o movimento do centro de massa.
Passo 4
A aceleração do centro de massa
pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton para o sistema, que é:
Onde
é a massa total do sistema. Como temos o flutuador e a esfera, cada um com massa
, a massa total é:
Passo 5
Agora, podemos encontrar a aceleração do centro de massa:
Passo 6
Sabemos que a força
foi aplicada por um intervalo de tempo
, durante o qual o flutuador se deslocou
. Embora o tempo não seja fornecido diretamente, podemos relacionar a aceleração com o deslocamento usando as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado.
A velocidade do centro de massa quando a força é removida pode ser encontrada integrando a aceleração:
Mas como não temos
, precisamos relacionar com o deslocamento
. Sabemos que:
Resolvendo para
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
Então, a componente horizontal da velocidade do centro de massa do sistema flutuador-esfera quando a força é removida é: