Em um trilho de ar horizontal, um flutuador de massa transporta uma coluna em forma de . A coluna sustenta uma pequena esfera densa, também de massa , pendurada logo acima do topo do flutuador em um cabo de comprimento . O flutuador e a esfera estão inicialmente em repouso com o cabo vertical. (A Figura P9.47a mostra um carrinho e uma esfera similarmente conectados.) Uma força horizontal constante de módulo é aplicada ao flutuador, que faz um deslocamento ; depois, a força é removida. Durante o intervalo de tempo em que a força é aplicada, a esfera faz um deslocamento com componente horizontal . (a) Encontre a componente horizontal da velocidade do centro de massa do sistema flutuador-esfera quando a força é removida.

Passo 1

Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema composto por um flutuador (tipo um carrinho) e uma esfera pendurada. Ambos têm a mesma massa . Uma força horizontal constante é aplicada ao flutuador, fazendo com que ele se mova e, durante esse movimento, a esfera também se desloca um pouco na horizontal. Quando a força é removida, queremos descobrir qual é a velocidade horizontal do centro de massa desse sistema flutuador-esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Centro de Massa e as Leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa de um sistema é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para fins de análise de movimento. A velocidade do centro de massa depende das forças externas aplicadas ao sistema.

Passo 3

Aqui, a força externa aplicada é a força na horizontal. Como a esfera está pendurada e apenas a força está agindo horizontalmente no flutuador, precisamos considerar como essa força afeta o movimento do centro de massa.

Passo 4

A aceleração do centro de massa pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton para o sistema, que é:
Onde é a massa total do sistema. Como temos o flutuador e a esfera, cada um com massa , a massa total é:

Passo 5

Agora, podemos encontrar a aceleração do centro de massa:

Passo 6

Sabemos que a força foi aplicada por um intervalo de tempo , durante o qual o flutuador se deslocou . Embora o tempo não seja fornecido diretamente, podemos relacionar a aceleração com o deslocamento usando as equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado.
A velocidade do centro de massa quando a força é removida pode ser encontrada integrando a aceleração:
Mas como não temos , precisamos relacionar com o deslocamento . Sabemos que:
Resolvendo para :
Substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão para :
Simplificando:

Resposta

Então, a componente horizontal da velocidade do centro de massa do sistema flutuador-esfera quando a força é removida é:

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