O vetor posição de uma partícula de
movendo-se no plano
varia com o tempo de acordo com
, onde
está dado em segundos
em centímetros. Ao mesmo tempo, o vetor posição de uma partícula de
varia conforme
.
, determine (e) a força resultante exercida sobre o sistema de duas partículas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas se movendo no plano
com posições que mudam com o tempo. A primeira partícula pesa
e sua posição é dada por
. A segunda partícula pesa
e sua posição é
. Queremos descobrir qual é a força total que age nesse sistema de duas partículas quando o tempo
é
.
O que vamos precisar: Vamos usar conceitos de cinemática vetorial para encontrar as acelerações de cada partícula e, em seguida, aplicar a segunda lei de Newton
para cada uma. Depois, somamos essas forças para achar a força resultante no sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a aceleração de cada partícula no instante
. Para isso, vamos derivar duas vezes a posição em relação ao tempo para obter a aceleração.
Para a primeira partícula:
A velocidade é a primeira derivada da posição:
A aceleração é a segunda derivada da posição:
Então, a aceleração da primeira partícula é constante e igual a
.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda partícula:
A velocidade é a primeira derivada da posição:
A aceleração é a segunda derivada da posição:
Então, a aceleração da segunda partícula é constante e igual a
.
Passo 4
Com as acelerações das duas partículas encontradas, vamos calcular as forças de cada uma usando a segunda lei de Newton:
Primeira partícula:
Precisamos converter a aceleração para
:
Segunda partícula:
Passo 5
Agora, vamos somar as forças das duas partículas para encontrar a força resultante no sistema:
Resposta
A força resultante exercida sobre o sistema das duas partículas em
é: