O vetor posição de uma partícula de movendo-se no plano varia com o tempo de acordo com , onde está dado em segundos em centímetros. Ao mesmo tempo, o vetor posição de uma partícula de varia conforme . , determine (e) a força resultante exercida sobre o sistema de duas partículas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas se movendo no plano com posições que mudam com o tempo. A primeira partícula pesa e sua posição é dada por . A segunda partícula pesa e sua posição é . Queremos descobrir qual é a força total que age nesse sistema de duas partículas quando o tempo é .
O que vamos precisar: Vamos usar conceitos de cinemática vetorial para encontrar as acelerações de cada partícula e, em seguida, aplicar a segunda lei de Newton para cada uma. Depois, somamos essas forças para achar a força resultante no sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a aceleração de cada partícula no instante . Para isso, vamos derivar duas vezes a posição em relação ao tempo para obter a aceleração.
Para a primeira partícula:
A velocidade é a primeira derivada da posição:
A aceleração é a segunda derivada da posição:
Então, a aceleração da primeira partícula é constante e igual a .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda partícula:
A velocidade é a primeira derivada da posição:
A aceleração é a segunda derivada da posição:
Então, a aceleração da segunda partícula é constante e igual a .

Passo 4

Com as acelerações das duas partículas encontradas, vamos calcular as forças de cada uma usando a segunda lei de Newton:
Primeira partícula:
Precisamos converter a aceleração para :
Segunda partícula:

Passo 5

Agora, vamos somar as forças das duas partículas para encontrar a força resultante no sistema:

Resposta

A força resultante exercida sobre o sistema das duas partículas em é:

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