Unı menino está em pé em um trampolim e joga uma pedra para dentro de uma piscina. A pedra é jogada de uma altura de
acima da superfície da água com velocidade de
a um ângulo de
acima da horizontal. A pedra bate na superfície da água e imediatamente reduz sua velocidade para exatamente a metade de quando bateu na água, mantendo esta velocidade enquanto está na água. Depois que a pedra entra na água, ela se move em linha reta na direção da velocidade que tinha quando bateu na água. Se a piscina tem
de profundidade, quanto tempo se passa entre o momento em que a pedra é jogada e o momento em que ela chega ao fundo da piscina?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos um menino que joga uma pedra de um trampolim para uma piscina. A pedra é lançada de uma altura de
com uma velocidade inicial de
a um ângulo de
acima da horizontal. Quando a pedra bate na água, sua velocidade reduz para a metade e ela desce os
da piscina. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo passa desde o lançamento até a pedra chegar no fundo da piscina. Vamos precisar das equações do movimento projetil e da cinemática básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o movimento da pedra em duas partes: antes de entrar na água (movimento no ar) e depois de entrar na água (movimento na água). Precisamos calcular o tempo que a pedra leva para ir do trampolim até a água e depois o tempo que ela leva para descer os
na água.
Passo 3
Vamos começar com o movimento no ar. A pedra é lançada com uma velocidade inicial de
a um ângulo de
. Vamos separar essa velocidade nas componentes horizontal (
) e vertical (
) usando as seguintes fórmulas:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos determinar o tempo que a pedra leva para atingir a superfície da água. Para isso, vamos usar a equação da posição vertical:
Onde:
-
(posição final na água) -
-
-
Substituindo na equação:
Isso é uma equação quadrática da forma
, onde:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Agora, substituindo na fórmula:
Vamos considerar apenas a solução positiva para o tempo:
Então, o tempo para a pedra atingir a água é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a velocidade da pedra no momento em que ela atinge a água. A velocidade vertical no impacto (
) pode ser encontrada usando:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo, o que faz sentido.
A velocidade total no impacto (
) é a combinação das componentes horizontal e vertical:
Passo 7
Assim que a pedra entra na água, sua velocidade reduz para exatamente a metade:
Essa será a velocidade constante da pedra enquanto ela desce na água.
Passo 8
Agora, vamos calcular o tempo que a pedra leva para descer os
da piscina com essa velocidade constante. Podemos usar a fórmula:
Onde:
Isolando o tempo (
):
Resposta
O tempo total entre o lançamento da pedra e ela atingir o fundo da piscina é aproximadamente
(no ar) mais
(na água), totalizando 1,89 segundos.