Unı menino está em pé em um trampolim e joga uma pedra para dentro de uma piscina. A pedra é jogada de uma altura de acima da superfície da água com velocidade de a um ângulo de acima da horizontal. A pedra bate na superfície da água e imediatamente reduz sua velocidade para exatamente a metade de quando bateu na água, mantendo esta velocidade enquanto está na água. Depois que a pedra entra na água, ela se move em linha reta na direção da velocidade que tinha quando bateu na água. Se a piscina tem de profundidade, quanto tempo se passa entre o momento em que a pedra é jogada e o momento em que ela chega ao fundo da piscina?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos um menino que joga uma pedra de um trampolim para uma piscina. A pedra é lançada de uma altura de com uma velocidade inicial de a um ângulo de acima da horizontal. Quando a pedra bate na água, sua velocidade reduz para a metade e ela desce os da piscina. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo passa desde o lançamento até a pedra chegar no fundo da piscina. Vamos precisar das equações do movimento projetil e da cinemática básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o movimento da pedra em duas partes: antes de entrar na água (movimento no ar) e depois de entrar na água (movimento na água). Precisamos calcular o tempo que a pedra leva para ir do trampolim até a água e depois o tempo que ela leva para descer os na água.

Passo 3

Vamos começar com o movimento no ar. A pedra é lançada com uma velocidade inicial de a um ângulo de . Vamos separar essa velocidade nas componentes horizontal ( ) e vertical ( ) usando as seguintes fórmulas:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos determinar o tempo que a pedra leva para atingir a superfície da água. Para isso, vamos usar a equação da posição vertical:
Onde:
  • (posição final na água)
Substituindo na equação:
Isso é uma equação quadrática da forma , onde:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante ( ):
Agora, substituindo na fórmula:
Vamos considerar apenas a solução positiva para o tempo:
ãí
Então, o tempo para a pedra atingir a água é aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade da pedra no momento em que ela atinge a água. A velocidade vertical no impacto ( ) pode ser encontrada usando:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo, o que faz sentido.
A velocidade total no impacto ( ) é a combinação das componentes horizontal e vertical:

Passo 7

Assim que a pedra entra na água, sua velocidade reduz para exatamente a metade:
á
Essa será a velocidade constante da pedra enquanto ela desce na água.

Passo 8

Agora, vamos calcular o tempo que a pedra leva para descer os da piscina com essa velocidade constante. Podemos usar a fórmula:
Onde:
Isolando o tempo ( ):

Resposta

O tempo total entre o lançamento da pedra e ela atingir o fundo da piscina é aproximadamente (no ar) mais (na água), totalizando 1,89 segundos.

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