O vetor posição de uma partícula de movendo-se no plano varia com o tempo de acordo com , onde está dado em segundos em centímetros. Ao mesmo tempo, o vetor posição de uma partícula de varia conforme . , determine (d) a aceleração do centro de massa

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas movendo-se no plano xy. A primeira tem massa de 3,50 g e sua posição varia com o tempo de acordo com a equação . A segunda partícula tem massa de 5,50 g e sua posição é . Nosso objetivo é, no tempo , encontrar a aceleração do centro de massa dessas duas partículas.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores posição, massa das partículas, e como calcular a aceleração do centro de massa usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa ( ) de um sistema de partículas é dado pela fórmula:
Onde:
  • e são as massas das partículas.
  • e são os vetores posição das partículas.
Mas como queremos a aceleração do centro de massa, que é a segunda derivada em relação ao tempo, precisamos primeiro encontrar e depois derivar duas vezes.

Passo 3

Vamos calcular no tempo .
Primeiro, substituímos os valores de nas equações de e :
Para a primeira partícula:
Substituindo :
Para a segunda partícula:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor posição do centro de massa usando a fórmula mencionada:
Substituindo os valores:
Vamos calcular cada componente:
Para a componente :
Para a componente :
Então:

Passo 5

Agora, para encontrar a aceleração do centro de massa, precisamos primeiro encontrar a velocidade e depois a aceleração, que é a segunda derivada do vetor posição do centro de massa.
Vamos derivar em relação ao tempo :
A velocidade do centro de massa é:
E a aceleração é:
Então, precisamos encontrar as acelerações das partículas individuais e .

Passo 6

Vamos encontrar e .
Primeiro, para :
A velocidade é a primeira derivada:
A aceleração é a segunda derivada:
Agora, para :
A velocidade é a primeira derivada:
A aceleração é a segunda derivada:

Passo 7

Agora que temos as acelerações individuais, podemos encontrar a aceleração do centro de massa :
Substituindo os valores:
Calculando:
Para :
Para :
Então:

Resposta

A aceleração do centro de massa no tempo é .

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