O vetor posição de uma partícula de
movendo-se no plano
varia com o tempo de acordo com
, onde
está dado em segundos
em centímetros. Ao mesmo tempo, o vetor posição de uma partícula de
varia conforme
.
, determine (d) a aceleração do centro de massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas movendo-se no plano xy. A primeira tem massa de 3,50 g e sua posição varia com o tempo de acordo com a equação
. A segunda partícula tem massa de 5,50 g e sua posição é
. Nosso objetivo é, no tempo
, encontrar a aceleração do centro de massa dessas duas partículas.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores posição, massa das partículas, e como calcular a aceleração do centro de massa usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa (
) de um sistema de partículas é dado pela fórmula:
Onde:
-
e são as massas das partículas. -
e são os vetores posição das partículas.
Mas como queremos a aceleração do centro de massa, que é a segunda derivada em relação ao tempo, precisamos primeiro encontrar
e depois derivar duas vezes.
Passo 3
Vamos calcular
no tempo
.
Primeiro, substituímos os valores de
nas equações de
e
:
Para a primeira partícula:
Substituindo
:
Para a segunda partícula:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor posição do centro de massa
usando a fórmula mencionada:
Substituindo os valores:
Vamos calcular cada componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então:
Passo 5
Agora, para encontrar a aceleração do centro de massa, precisamos primeiro encontrar a velocidade e depois a aceleração, que é a segunda derivada do vetor posição do centro de massa.
Vamos derivar
em relação ao tempo
:
A velocidade do centro de massa
é:
E a aceleração
é:
Então, precisamos encontrar as acelerações das partículas individuais
e
.
Passo 6
Vamos encontrar
e
.
Primeiro, para
:
A velocidade
é a primeira derivada:
A aceleração
é a segunda derivada:
Agora, para
:
A velocidade
é a primeira derivada:
A aceleração
é a segunda derivada:
Passo 7
Agora que temos as acelerações individuais, podemos encontrar a aceleração do centro de massa
:
Substituindo os valores:
Calculando:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
A aceleração do centro de massa no tempo
é
.