Uma bala de canhão de massa
está perto de uma árvore na beira de um penhasco a
acima da superfície do oceano. Em um esforço para derrubar a bala de canhão do penhasco, algumas crianças amarram uma ponta de uma corda em torno de uma pedra de massa
e a outra em um galho de árvore bem acima da bala. Elas apertam a corda de maneira que a pedra apenas roce o chão e fique pendurada perto da bala. As crianças conseguem balançar a pedra de volta até que ela fique em repouso
acima do chão. As crianças soltam a pedra, que em seguida balança e faz uma colisão frontal elástica com a bala de canhão, projetando-a horizontalmente para fora do penhasco. A bala de canhão pousa no oceano a uma distância horizontal
de sua posição inicial. (e) E se? Mostre que
não depende do valor da aceleração gravitacional. Esse resultado é extraordinário? Declare como se poderia fazê-lo ter sentido.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. Temos uma bala de canhão (massa
) localizada perto de uma árvore no topo de um penhasco que está a 36 metros acima do mar. Crianças amarraram uma pedra de 80 kg numa corda, balançaram ela até ficar 1,80 metros acima do chão e soltaram. A pedra balança, bate na bala de canhão de forma elástica e a projeta horizontalmente para fora do penhasco. Queremos mostrar que a distância horizontal
onde a bala cai no mar não depende da aceleração da gravidade
. Vamos precisar usar conceitos de energia potencial, conservação de momento e movimento de projétil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando a pedra é puxada até 1,80 metros, ela ganha energia potencial gravitacional. A fórmula dessa energia é:
Onde:
-
(massa da pedra) -
é a aceleração da gravidade -
(altura que a pedra desce)
Passo 3
Ao soltar a pedra, essa energia potencial se converte em energia cinética quando ela atinge a posição mais baixa. A energia cinética é dada por:
Como a energia potencial vira cinética:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 4
Agora, na colisão elástica entre a pedra e a bala de canhão, aplicamos a conservação do momento e da energia cinética. Como a bala inicialmente está em repouso, a velocidade final da bala (
) pode ser determinada usando:
Onde:
-
(massa da pedra) -
(massa da bala de canhão)
Passo 5
Após a colisão, a bala de canhão é projetada horizontalmente com a velocidade
. Para encontrar a distância
, usamos a fórmula do movimento de projétil:
Onde
é o tempo que a bala leva para cair do penhasco até o mar. Esse tempo pode ser encontrado pela queda livre:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Simplificando:
Passo 7
Observamos que a aceleração da gravidade
cancelou nas equações, ou seja,
não depende de
. Portanto, a distância
é:
Resposta
A distância horizontal
onde a bala de canhão cai no mar é
, mostrando que
não depende da aceleração gravitacional
. Esse resultado não é extraordinário porque, durante a resolução,
se cancelou nas equações, indicando que a gravidade influencia o tempo de queda e a velocidade inicial de forma que seus efeitos se anulam na distância final.