Uma bala de canhão de massa está perto de uma árvore na beira de um penhasco a acima da superfície do oceano. Em um esforço para derrubar a bala de canhão do penhasco, algumas crianças amarram uma ponta de uma corda em torno de uma pedra de massa e a outra em um galho de árvore bem acima da bala. Elas apertam a corda de maneira que a pedra apenas roce o chão e fique pendurada perto da bala. As crianças conseguem balançar a pedra de volta até que ela fique em repouso acima do chão. As crianças soltam a pedra, que em seguida balança e faz uma colisão frontal elástica com a bala de canhão, projetando-a horizontalmente para fora do penhasco. A bala de canhão pousa no oceano a uma distância horizontal de sua posição inicial. (e) E se? Mostre que não depende do valor da aceleração gravitacional. Esse resultado é extraordinário? Declare como se poderia fazê-lo ter sentido.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. Temos uma bala de canhão (massa ) localizada perto de uma árvore no topo de um penhasco que está a 36 metros acima do mar. Crianças amarraram uma pedra de 80 kg numa corda, balançaram ela até ficar 1,80 metros acima do chão e soltaram. A pedra balança, bate na bala de canhão de forma elástica e a projeta horizontalmente para fora do penhasco. Queremos mostrar que a distância horizontal onde a bala cai no mar não depende da aceleração da gravidade . Vamos precisar usar conceitos de energia potencial, conservação de momento e movimento de projétil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando a pedra é puxada até 1,80 metros, ela ganha energia potencial gravitacional. A fórmula dessa energia é:
Onde:
  • (massa da pedra)
  • é a aceleração da gravidade
  • (altura que a pedra desce)

Passo 3

Ao soltar a pedra, essa energia potencial se converte em energia cinética quando ela atinge a posição mais baixa. A energia cinética é dada por:
Como a energia potencial vira cinética:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 4

Agora, na colisão elástica entre a pedra e a bala de canhão, aplicamos a conservação do momento e da energia cinética. Como a bala inicialmente está em repouso, a velocidade final da bala ( ) pode ser determinada usando:
Onde:
  • (massa da pedra)
  • (massa da bala de canhão)

Passo 5

Após a colisão, a bala de canhão é projetada horizontalmente com a velocidade . Para encontrar a distância , usamos a fórmula do movimento de projétil:
Onde é o tempo que a bala leva para cair do penhasco até o mar. Esse tempo pode ser encontrado pela queda livre:

Passo 6

Substituindo e na expressão de , temos:
Simplificando:

Passo 7

Observamos que a aceleração da gravidade cancelou nas equações, ou seja, não depende de . Portanto, a distância é:

Resposta

A distância horizontal onde a bala de canhão cai no mar é , mostrando que não depende da aceleração gravitacional . Esse resultado não é extraordinário porque, durante a resolução, se cancelou nas equações, indicando que a gravidade influencia o tempo de queda e a velocidade inicial de forma que seus efeitos se anulam na distância final.

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