O vetor posição de uma partícula varia no tempo de acordo. com a expressão , onde é dado em metros e em segundos. © Calcule a posição e velocidade da partícula em .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos a expressão do vetor posição da partícula em função do tempo:
onde está em metros e em segundos. Precisamos calcular a posição e a velocidade da partícula no instante . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente a derivada para encontrar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição da partícula no instante . Basta substituir na expressão do vetor posição:
Portanto, a posição da partícula em é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da partícula. Velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de :
  1. Componente :
A derivada de uma constante é zero.
  1. Componente :
Usamos a regra da potência para derivar , que nos dá , então multiplicamos por e obtemos .
Assim, o vetor velocidade é:
Substituindo , temos:

Resposta

Em , a posição da partícula é metros e a velocidade é metros por segundo.

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