Considere 100 tentativas de um experimento. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade 0,03 . Seja X: o número de sucessos, calcule:
P(X \leq 2) \quad

Passo 1

O enunciado diz que temos n=100 tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p=0,03. A variável aleatória X conta o número de sucessos e segue a distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p). Queremos
P(X\le 2).

Passo 2

Pela definição de binomial,
P(X\le 2) =\sum_{k=0}^{2}\binom{100}{k}(0,03)^{k}(0,97)^{100-k}.

Passo 3

Calcular P(X=0):
P(X=0) =\binom{100}{0}(0,03)^{0}(0,97)^{100} =(0,97)^{100}\approx 0,0476.

Passo 4

Calcular P(X=1):
P(X=1) =\binom{100}{1}(0,03)^{1}(0,97)^{99} =100\cdot0,03\cdot(0,97)^{99} \approx 3\cdot0,0491 \approx 0,1472.

Passo 5

Calcular P(X=2):
P(X=2) =\binom{100}{2}(0,03)^{2}(0,97)^{98} =4950\cdot0,0009\cdot(0,97)^{98} \approx 4,455\cdot0,0506 \approx 0,2254.

Passo 6

Somando os três casos:
P(X\le2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \approx 0,0476 + 0,1472 + 0,2254 =0,4202.

Resposta

P(X\le 2)\approx 0,42

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