(Para fixar os conceitos) - Na divulgação dos resultados de uma pesquisa publicou-se o seguinte texto (dados fictícios): “Com o objetivo de se estimar a média de uma população, estudou-se uma amostra de tamanho 45. De estudos anteriores, sabe-se que essa população é muito bem aproximada por uma distribuição normal com desvio padrão 3, mas acredita-se que a média tenha mudado desde esse último estudo. Com os dados amostrais obteve-se o intervalo de confiança [1,79 ; 3,01], com uma margem de erro de 0,61 .” Quais são as informações importantes que não foram divulgadas? Como podemos obtê-las?
(Resp: \bar{X}=2,4 ; \mathrm{Z}_{\alpha / 2}=\operatorname{tab}(1,36)=0,9131 )

Passo 1

O enunciado diz que, para estimar a média de uma população, usamos uma amostra de tamanho n=45, com desvio padrão populacional conhecido \sigma=3. Foi dado o intervalo de confiança
[\,1,79 \;;\;3,01\,]
e a margem de erro E=0,61.
As duas informações que não aparecem na divulgação são: a média amostral \bar X e o valor crítico Z_{\alpha/2}.

Passo 2

A média amostral \bar X é o centro do intervalo de confiança, ou seja, a média dos extremos:
\bar X = \frac{1,79 + 3,01}{2} = 2,40.

Passo 3

A margem de erro em um IC para média com \sigma conhecido é
E = Z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando Z_{\alpha/2}, obtemos
Z_{\alpha/2} = E \;\frac{\sqrt{n}}{\sigma} = 0,61 \;\frac{\sqrt{45}}{3} \approx 1,36.

Passo 4

Para encontrar o nível de significância associado, consultamos na tabela da normal padrão a probabilidade acumulada até z=1,36:
\Phi(1,36) = 0,9131.
Esse valor corresponde a 1 - \alpha/2, de onde se extrai Z_{\alpha/2}=1,36.

Resposta

\bar X = 2,4
Z_{\alpha/2} = \mathrm{tab}(1,36) = 0,9131

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