(a) De uma população normal com \sigma=5, retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho 50, obtendo-se \bar{X}=42.
(a) Obtenha o intervalo de confiança para a média com nível de significância de 2 %.
(Resp: 40,3524 \leq \mu \leq 43,6476 )
(b) Qual é o erro de estimação?
(Resp: 1,6476)
(c) Para que o erro seja \leq 1, com probabilidade de acerto de 98 %, qual deverá ser o tamanho da amostra?
(Resp: \mathrm{n} \geq 136 )

Passo 1

O enunciado descreve uma amostra aleatória simples de tamanho n=50 retirada de uma população normal com desvio padrão conhecido \sigma=5. Observou-se a média amostral \bar X=42. Pede-se:
  • (a) o intervalo de confiança para a média com nível de significância de 2\% (ou seja, confiança de 98\%);
  • (b) o erro de estimação desse intervalo;
  • (c) o tamanho de amostra necessário para que o erro de estimação seja \le1 com 98\% de confiança.

Passo 2

Para o intervalo de confiança de \mu com \sigma conhecido usamos a fórmula
\bar X \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Aqui \alpha=0,02, logo 1-\tfrac{\alpha}{2}=0,99. O valor crítico é
z_{0,99}\approx2,3263.
O erro máximo (margem) é
E = z_{0,99}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =2,3263\;\frac{5}{\sqrt{50}} \approx1,6476.
Portanto o intervalo é
42 - 1,6476 \;\le\;\mu\;\le\;42 + 1,6476
ou seja
40,3524 \;\le\;\mu\;\le\;43,6476.

Passo 3

O erro de estimação é justamente a margem E calculada acima, isto é
E\approx1,6476.

Passo 4

Para que o erro de estimação seja \le1 com 98\% de confiança, impomos
z_{0,99}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le1 \quad\Longrightarrow\quad n\ge\biggl(z_{0,99}\,\frac{\sigma}{1}\biggr)^{2} =(2,3263\cdot5)^{2}\approx135,34.
Como n deve ser inteiro, toma-se
n\ge136.

Resposta

(a) 40,3524\le\mu\le43,6476
(b) 1,6476
(c) n\ge136

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