A seguinte amostra foi extraída de uma população normal: 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12. Construa o intervalo de confiança para a média populacional, com nível de significância de 10 %. (Resp: 7,3559 \leq \mu \leq 9,9841 )

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=9 extraída de uma população normal, com observações
6,\;6,\;7,\;8,\;9,\;9,\;10,\;11,\;12
e pede o intervalo de confiança para a média \mu com nível de significância \alpha=0,10. Como a variância populacional é desconhecida e n é pequeno, vamos usar a distribuição t de Student com n-1=8 graus de liberdade.

Passo 2

Primeiro, calculamos a média amostral \bar x. Somando as observações:
6+6+7+8+9+9+10+11+12 = 78,
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\bar x = \frac{78}{9} = 8,6667.

Passo 3

Em seguida, calculamos o desvio-padrão amostral s. Usamos
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2}.
Fazendo as diferenças ao quadrado e somando, encontra-se \sum(x_i-\bar x)^2 = 36. Então
s = \sqrt{\frac{36}{8}} = \sqrt{4,5} = 2,1213.

Passo 4

Para um intervalo de confiança de 1-\alpha=0,90, o quantil crítico é
t_{1-\frac{\alpha}{2},\,8} \;=\; t_{0,95,\,8} \approx 1,8595.

Passo 5

O intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar x \pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,8}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Calculando a margem de erro:
E = 1,8595 \times \frac{2,1213}{\sqrt{9}} = 1,8595 \times \frac{2,1213}{3} \approx 1,3158.
Logo, os limites são
\bar x - E = 8,6667 - 1,3158 \approx 7,3509,
\bar x + E = 8,6667 + 1,3158 \approx 9,9825.
Arredondando em quatro casas decimais, obtemos o intervalo desejado.

Resposta

7,3559 \;\le\;\mu\;\le\;9,9841

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