Fixe uma orientão de V^3. Dada uma base ortonormal positiva (i, j, k), calcule:
(1) (j wed>= j) wed>= i;
Conclua que o produto vetorial não é associativo, i.e., dados vetores u, v e w pode acontecer que:
(u wed>= v) wed>= w neq u wed>=(v wed>= w)

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial orientado de dimensão 3, equipado com uma base ortonormal positiva (vec i,vec j,vec k). O conteúdo é o produto vetorial, que é bilinear, anticomutativo e satisfaz vec vwed>=vec v=vec 0. Queremos mostrar que ele não é associativo, comparando
(vec jwed>=vec j)wed>=vec i com vec jwed>=(vec jwed>=vec i)

Passo 2

Pela propriedade fundamental do produto vetorial, qualquer vetor cruz ele próprio é o vetor zero, isto é,
vec jwed>=vec j = vec 0

Passo 3

Agora aplicamos novamente o produto vetorial usando vec 0. Como vec 0 é o neutro aditivo, vale
(vec jwed>=vec j)wed>=vec i = vec 0wed>=vec i = vec 0

Passo 4

Para comparar, vamos calcular o outro parêntese. Primeiro
vec jwed>=vec i = -,l(vec iwed>=vec jr) = -vec k
(pois vec iwed>=vec j=vec k). Em seguida,
vec jwed>=(vec jwed>=vec i) = vec jwed>=(-vec k) = -,(vec jwed>=vec k) = -,vec i

Passo 5

Comparando os dois resultados temos
(vec jwed>=vec j)wed>=vec i = vec 0 neq -,vec i = vec jwed>=(vec jwed>=vec i),
portanto o produto vetorial não é associativo.

Resposta

(vec jwed>=vec j)wed>=vec i=vec 0, enquanto vec jwed>=(vec jwed>=vec i)=-vec i. Logo o produto vetorial não é associativo.

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