Fixe uma orientão de
. Dada uma base ortonormal positiva
, calcule:
(1)
;
Conclua que o produto vetorial não é associativo, i.e., dados vetores
e
pode acontecer que:
(1)
Conclua que o produto vetorial não é associativo, i.e., dados vetores
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial orientado de dimensão 3, equipado com uma base ortonormal positiva
. O conteúdo é o produto vetorial, que é bilinear, anticomutativo e satisfaz
. Queremos mostrar que ele não é associativo, comparando
Passo 2
Pela propriedade fundamental do produto vetorial, qualquer vetor cruz ele próprio é o vetor zero, isto é,
Passo 3
Agora aplicamos novamente o produto vetorial usando
. Como
é o neutro aditivo, vale
Passo 4
Para comparar, vamos calcular o outro parêntese. Primeiro
(pois
). Em seguida,
Passo 5
Comparando os dois resultados temos
portanto o produto vetorial não é associativo.