Seja V um espaço euclidiano. Demonstre que quaisquer dois vetores ortogonais e não nulos em V são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado afirma que V é um espaço vetorial real com produto interno (espaço euclidiano) e que v,win V são tais que lang<= v,wrang<==0 e vneq0, wneq0. Queremos mostrar que v,w é um conjunto linearmente independente, ou seja, que a única combinação linear
alpha,v+beta,w=0
que produz o vetor zero é alpha=0 e beta=0. Para isso vamos usar a definição de independência linear e as propriedades do produto interno, em particular a ortogonalidade e o fato de lang<= x,xrang<=>0 se xneq0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,betainR tais que
alpha,v+beta,w=0
Tomamos o produto interno de ambos os lados com v. Pela linearidade em cada argumento e pela ortogonalidade de v e w ( lang<= w,vrang<==0), obtemos
lang<= alpha,v+beta,w,;vrang<= =alphalang<= v,vrang<=+betalang<= w,vrang<= =alphalang<= v,vrang<=+ betacdot 0 =alphalang<= v,vrang<=
Como o lado esquerdo é lang<=0,vrang<==0, segue
alphalang<= v,vrang<==0

Passo 3

Sabendo que vneq0 num espaço euclidiano implica lang<= v,vrang<=>0, concluímos que
alpha=0

Passo 4

De modo análogo, tomamos o produto interno de alpha,v+beta,w=0 com w. Isso dá
lang<= alpha,v+beta,w,;wrang<= =alphalang<= v,wrang<=+betalang<= w,wrang<= =0+betalang<= w,wrang<= =betalang<= w,wrang<=,
e como lang<=0,wrang<==0 e lang<= w,wrang<=>0, segue
beta=0

Passo 5

Mostramos que a única solução de alpha,v+beta,w=0 é alpha=0 e beta=0. Isso prova que v e w são linearmente independentes.

Resposta

Quaisquer dois vetores ortogonais e não nulos em V são linearmente independentes.

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