Seja
um espaço euclidiano. Demonstre que quaisquer dois vetores ortogonais e não nulos em
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um espaço vetorial real com produto interno (espaço euclidiano) e que
são tais que
e
,
. Queremos mostrar que
é um conjunto linearmente independente, ou seja, que a única combinação linear
que produz o vetor zero é
e
. Para isso vamos usar a definição de independência linear e as propriedades do produto interno, em particular a ortogonalidade e o fato de
se
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Tomamos o produto interno de ambos os lados com
. Pela linearidade em cada argumento e pela ortogonalidade de
e
(
), obtemos
Como o lado esquerdo é
, segue
Passo 3
Sabendo que
num espaço euclidiano implica
, concluímos que
Passo 4
De modo análogo, tomamos o produto interno de
com
. Isso dá
e como
e
, segue
Passo 5
Mostramos que a única solução de
é
e
. Isso prova que
e
são linearmente independentes.
Resposta
Quaisquer dois vetores ortogonais e não nulos em
são linearmente independentes.