Uma flecha é atirada para cima, no ar, e retorna direto ao solo a 260 pés / \mathrm{s}, penetrando 9,0 polegadas no solo. Determine (a) a aceleração (assumida constante) necessária para parar a flecha, e (b) o tempo necessário para que o solo leve a flecha ao repouso.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a aceleração (assumida constante) necessária para parar a flecha;
  • (b) o tempo que o solo leva para reduzir a velocidade da flecha a zero.
As informações dadas são:
  • velocidade da flecha ao atingir o solo: \,v_0 = 260\\ \mathrm{ft/s}\, (direção para baixo);
  • profundidade de penetração no solo: \, \Delta x = 9{,}0\\ \mathrm{in}\,;
  • assume-se aceleração constante durante a frenagem.

Passo 2

Vamos usar a cinemática para movimento com aceleração constante. A relação que conecta velocidade inicial, velocidade final, aceleração e deslocamento é
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x.
Explicando cada símbolo:
  • \,v é a velocidade final (aqui v=0 quando a flecha pára);
  • \,v_0 é a velocidade inicial (aqui 260\\ \mathrm{ft/s});
  • \,a é a aceleração constante (o que queremos encontrar);
  • \,\Delta x é o deslocamento na direção do movimento (a penetração).
Se v=0, isolando a obtemos
a = -\frac{v_0^2}{2\Delta x}.
O sinal negativo aparece porque a aceleração é oposta à velocidade inicial (é uma desaceleração). No exame, é útil calcular a magnitude |a| e depois indicar que é dirigida contra o movimento.
Para o tempo até parar, usamos a equação
v = v_0 + a t,
que isolada para t com v=0
t = -\frac{v_0}{a}.
Novamente o sinal se encarrega de tornar t positivo quando a tem sinal oposto a v_0.

Passo 3

Primeiro converto a distância para pés, porque a velocidade está em \mathrm{ft/s}:
9{,}0\\ \mathrm{in} = \frac{9{,}0}{12}\\ \mathrm{ft} = 0{,}75\\ \mathrm{ft}.
Portanto \,\Delta x = 0{,}75\\ \mathrm{ft}.
Calculo também v_0^2:
v_0^2 = (260)^2 = 67\,600\\ \mathrm{ft}^2\mathrm{/s}^2.

Passo 4

Agora uso a fórmula para a:
a = -\frac{v_0^2}{2\Delta x} = -\frac{67\,600}{2\cdot 0{,}75}\\ \mathrm{ft\,s^{-2}}.
Calculo o denominador:
2\cdot 0{,}75 = 1{,}5.
Logo
a = -\frac{67\,600}{1{,}5}\\ \mathrm{ft\,s^{-2}} = -45\,066{,}\overline{6}\\ \mathrm{ft\,s^{-2}}.
Em forma aproximada com três algarismos significativos:
a \approx -4{,}51\times 10^{4}\\ \mathrm{ft\,s^{-2}}.
Interpretação: a aceleração é dirigida para cima (oposta ao movimento descendente) e tem magnitude |a|\approx 4{,}51\times10^{4}\\ \mathrm{ft\,s^{-2}}. Para ter uma noção, isso corresponde a cerca de \dfrac{4{,}51\times10^{4}}{32}\approx 1{,}4\times10^{3} vezes a aceleração da gravidade — um desaceleração muito grande, o que faz sentido para uma parada muito rápida em apenas 0{,}75\\ \mathrm{ft}.

Passo 5

Agora calculo o tempo até a flecha parar, usando
t = -\frac{v_0}{a}.
Como a é negativo e v_0 positivo (no sentido que escolhemos), t será positivo. Substituindo valores:
t = -\frac{260}{-45\,066{,}\overline{6}}\\ \mathrm{s} = \frac{260}{45\,066{,}\overline{6}}\\ \mathrm{s}.
Podemos simplificar exatamente como fração:
t = \frac{260}{135200/3} = \frac{260\cdot 3}{135200} = \frac{780}{135200} = \frac{39}{6760} = \frac{3}{520}\\ \mathrm{s}.
Como número:
t = \frac{3}{520}\\ \mathrm{s} \approx 0{,}00576923\\ \mathrm{s} \approx 5{,}77\\ \mathrm{ms}.

Resposta

(a) a \approx -4{,}51\times10^{4}\\ \mathrm{ft\,s^{-2}} (magnitude |a|\approx 4{,}51\times10^{4}\\ \mathrm{ft\,s^{-2}})\n
(b) t = \dfrac{3}{520}\\ \mathrm{s} \approx 0{,}00577\\ \mathrm{s} (≈ 5{,}77\\ \mathrm{ms})

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