Para F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) e G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) funções de n variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, e G é uma função limitada, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot G\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} \frac{\operatorname{sen}\left[F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]}{F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=1
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando t tende a algum valor a, tivermos f(t) \rightarrow 0 \mathrm{e} g(t) \rightarrow 0, ou tivermos f(x) \rightarrow \infty e g(x) \rightarrow \infty (indiferente se é +\infty ou -\infty ), então é verdade que
\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(t)}{g^{\prime}(t)}
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,-3)}\left(y^{3}+27\right) \cos \left(\frac{38}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,-3)}\bigl(y^{3}+27\bigr)\cos\Bigl(\tfrac{38}{x}\Bigr),
que é um limite de função de duas variáveis. Como y^3+27\to0 quando y\to-3 e \cos(38/x) é limitada, vamos usar o teorema (I).

Passo 2

Definimos
F(x,y)=y^3+27.
Quando (x,y)\to(0,-3), temos
y\to-3 \quad\Longrightarrow\quad y^3+27\to(-3)^3+27= -27+27=0,
logo \lim_{(x,y)\to(0,-3)}F(x,y)=0.

Passo 3

Definimos
G(x,y)=\cos\Bigl(\tfrac{38}{x}\Bigr).
A função cosseno é sempre limitada, isto é, para todo (x,y)
-1\le \cos\Bigl(\tfrac{38}{x}\Bigr)\le1.
Portanto G é limitada.

Passo 4

Pelo teorema (I), sendo F(x,y)\to0 e G(x,y) limitada, vale
\lim_{(x,y)\to(0,-3)}F(x,y)\,G(x,y)=0.

Resposta

0

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