Para
e
funções de
variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, e
é uma função limitada, então
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, então
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando
tende a algum valor
, tivermos
, ou tivermos
e
(indiferente se é
ou
), então é verdade que
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
(I) Se
Passo 1
O enunciado pede
que é um limite de função de duas variáveis. Como
quando
e
é limitada, vamos usar o teorema (I).
Passo 2
Definimos
Quando
, temos
logo
.
Passo 3
Definimos
A função cosseno é sempre limitada, isto é, para todo
Portanto
é limitada.
Passo 4
Pelo teorema (I), sendo
e
limitada, vale