Agora que você retomou como calcular certos limites, ou como comprovar que alguns não existem, com base nos conhecimento que foram utilizados nos três exercícios anteriores, resolva os próximos limites. Ou seja, para cada um dos próximos, ou conclua qual é o seu valor, ou conclua que ele não existe, justificando.
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,1)} \frac{x^{2}-8 x y+16 y^{2}}{3 x^{2}-48 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(4,1)} \frac{x^{2}-8xy+16y^{2}}{3x^{2}-48y^{2}}.
O conteúdo é cálculo de limites de funções de duas variáveis e vamos usar fatoração para remover a indeterminação.

Passo 2

Tentando a substituição direta (x,y)=(4,1), obtemos
\text{numerador} = 4^{2} - 8\cdot4\cdot1 + 16\cdot1^{2} = 16 - 32 + 16 = 0,
\text{denominador} = 3\cdot4^{2} - 48\cdot1^{2} = 48 - 48 = 0,
logo temos uma forma 0/0, ou seja, indeterminação.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador:
x^{2} - 8xy + 16y^{2} = (x - 4y)^{2},
3x^{2} - 48y^{2} = 3\,(x^{2} - 16y^{2}) = 3\,(x - 4y)\,(x + 4y).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-4y) (desde que não estejamos na reta x=4y), obtendo a função simplificada
g(x,y) = \frac{x-4y}{3\,(x+4y)}.
Como g é contínua perto de (4,1) e x+4y em (4,1) vale 4+4=8\neq0, podemos avaliar o limite de g substituindo diretamente.

Passo 5

Substituindo (x,y)=(4,1) em g(x,y):
g(4,1) = \frac{4 - 4\cdot1}{3\,(4 + 4\cdot1)} = \frac{0}{3\cdot8} = 0.

Resposta

0

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