Para
e
funções de
variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, e
é uma função limitada, então
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, então
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando
tende a algum valor
, tivermos
, ou tivermos
e
(indiferente se é
ou
), então é verdade que
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
(Dicas: perceba a restrição do domínio em ln, e lembre-se que
)
(I) Se
(Dicas: perceba a restrição do domínio em ln, e lembre-se que
Passo 1
O enunciado pede
Aqui temos uma função de duas variáveis. Note que para existir o
, precisamos de
Ao nos aproximarmos de
pelo domínio, veremos que
. Para tratar o produto que tende a
, faremos uma substituição para reduzir a um limite de uma variável.
Passo 2
Fazemos a substituição
assim quando
temos
. O limite passa a ser
Identificamos a forma indeterminada
.
Passo 3
Para aplicar a Regra de L’Hospital (teorema III), reescrevemos o produto como quociente:
Agora, conforme
, o numerador
e o denominador
, ou seja, temos a forma
.
Passo 4
Pelo teorema III, derivamos numerador e denominador em relação a
:
Logo o limite torna-se
Passo 5
Como
, concluímos que
Portanto, o limite original também vale
.