Para F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) e G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) funções de n variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, e G é uma função limitada, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot G\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} \frac{\operatorname{sen}\left[F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]}{F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=1
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando t tende a algum valor a, tivermos f(t) \rightarrow 0 \mathrm{e} g(t) \rightarrow 0, ou tivermos f(x) \rightarrow \infty e g(x) \rightarrow \infty (indiferente se é +\infty ou -\infty ), então é verdade que
\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(t)}{g^{\prime}(t)}
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,-1)}\left(x^{2}+y\right) \ln \left(x^{2}+y\right)
(Dicas: perceba a restrição do domínio em ln, e lembre-se que A \cdot B=\frac{B}{\frac{1}{A}} )

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(-1,-1)} \bigl(x^{2}+y\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+y\bigr).
Aqui temos uma função de duas variáveis. Note que para existir o \ln, precisamos de
x^{2}+y>0.
Ao nos aproximarmos de (-1,-1) pelo domínio, veremos que x^{2}+y\to0. Para tratar o produto que tende a 0\cdot(-\infty), faremos uma substituição para reduzir a um limite de uma variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{2}+y,
assim quando (x,y)\to(-1,-1) temos t\to0^{+}. O limite passa a ser
\lim_{t\to0^{+}} t\,\ln t.
Identificamos a forma indeterminada 0\cdot(-\infty).

Passo 3

Para aplicar a Regra de L’Hospital (teorema III), reescrevemos o produto como quociente:
t\ln t \;=\;\frac{\ln t}{1/t}.
Agora, conforme t\to0^{+}, o numerador \ln t\to-\infty e o denominador 1/t\to+\infty, ou seja, temos a forma \tfrac{-\infty}{\infty}.

Passo 4

Pelo teorema III, derivamos numerador e denominador em relação a t:
\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac1t, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(1/t\bigr)=-\frac1{t^{2}}.
Logo o limite torna-se
\lim_{t\to0^{+}}\frac{\frac1t}{-\frac1{t^{2}}} =\lim_{t\to0^{+}}\bigl(-t\bigr).

Passo 5

Como \lim_{t\to0^{+}}(-t)=0, concluímos que
\lim_{t\to0^{+}} t\,\ln t = 0.
Portanto, o limite original também vale 0.

Resposta

0

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