Para F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) e G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) funções de n variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, e G é uma função limitada, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot G\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} \frac{\operatorname{sen}\left[F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]}{F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=1
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando t tende a algum valor a, tivermos f(t) \rightarrow 0 \mathrm{e} g(t) \rightarrow 0, ou tivermos f(x) \rightarrow \infty e g(x) \rightarrow \infty (indiferente se é +\infty ou -\infty ), então é verdade que
\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(t)}{g^{\prime}(t)}
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,4)} \frac{7 \operatorname{sen}(4 x-3 y)}{16 x^{2}-9 y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{(x,y)\to(3,4)} \frac{7\sin(4x-3y)}{16x^2-9y^2}
de uma função de duas variáveis. Vamos usar fatoração do denominador e o limite fundamental da trigonometria (teorema II).

Passo 2

Substituindo x=3 e y=4, o numerador e o denominador tornam-se
4x-3y = 12 - 12 = 0,
\sin(4x-3y) = \sin(0) = 0,
16x^2 - 9y^2 = 144 - 144 = 0,
logo temos indeterminação 0/0.

Passo 3

Fatora-se o denominador pela diferença de quadrados:
16x^2 - 9y^2 = (4x - 3y)\,(4x + 3y).

Passo 4

Reescrevemos a expressão como produto de dois fatores:
\frac{7\sin(4x-3y)}{16x^2-9y^2} = \frac{7\sin(4x-3y)}{(4x-3y)(4x+3y)} = \frac{7}{4x+3y}\;\cdot\;\frac{\sin(4x-3y)}{4x-3y}.

Passo 5

Ao aproximar (x,y)\to(3,4) vale que
4x+3y \to 12 + 12 = 24,
então \tfrac{7}{4x+3y} tende a \tfrac{7}{24} e é limitada perto do ponto (teorema I). Pelo teorema II (limite fundamental da trigonometria), temos
\frac{\sin(4x-3y)}{4x-3y} \to 1.

Passo 6

Como o limite do produto é o produto dos limites, obtemos
\lim_{(x,y)\to(3,4)} \frac{7\sin(4x-3y)}{16x^2-9y^2} = \frac{7}{24}\,\cdot 1 = \frac{7}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{24}
Usou-se principalmente o teorema II (limite fundamental da trigonometria), complementado pelo teorema I para justificar que \tfrac{7}{4x+3y} permanece limitada.

Exercícios relacionados