Para
e
funções de
variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, e
é uma função limitada, então
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, então
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando
tende a algum valor
, tivermos
, ou tivermos
e
(indiferente se é
ou
), então é verdade que
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
(I) Se
Passo 1
O enunciado nos dá o limite
de uma função de duas variáveis. Vamos usar fatoração do denominador e o limite fundamental da trigonometria (teorema II).
Passo 2
Substituindo
e
, o numerador e o denominador tornam-se
logo temos indeterminação
.
Passo 3
Fatora-se o denominador pela diferença de quadrados:
Passo 4
Reescrevemos a expressão como produto de dois fatores:
Passo 5
Ao aproximar
vale que
então
tende a
e é limitada perto do ponto (teorema I). Pelo teorema II (limite fundamental da trigonometria), temos
Passo 6
Como o limite do produto é o produto dos limites, obtemos
Resposta
Usou-se principalmente o teorema II (limite fundamental da trigonometria), complementado pelo teorema I para justificar que