Para
e
funções de
variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, e
é uma função limitada, então
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, então
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando
tende a algum valor
, tivermos
, ou tivermos
e
(indiferente se é
ou
), então é verdade que
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
(I) Se
Passo 1
O enunciado pede o limite em duas variáveis
quando
tende a
. O ponto importante é que
e
, gerando uma forma que tende a
após substituição apropriada. Vamos usar uma mudança de variável que transforme o problema num limite unidimensional e, em seguida, aplicar a Regra de L\’Hospital (teorema III).
Passo 2
Para
defina
Então
e
Quando
, temos
fixo e
implica
. Portanto o limite original é igual a
Passo 3
No limite unidimensional
vemos uma forma
. Aplicando a Regra de L\’Hospital (teorema III), derivamos numerador e denominador em relação a
:
Logo o limite diverge para
.
Resposta
O limite é
.