Para F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) e G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) funções de n variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, e G é uma função limitada, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot G\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} \frac{\operatorname{sen}\left[F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]}{F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=1
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando t tende a algum valor a, tivermos f(t) \rightarrow 0 \mathrm{e} g(t) \rightarrow 0, ou tivermos f(x) \rightarrow \infty e g(x) \rightarrow \infty (indiferente se é +\infty ou -\infty ), então é verdade que
\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(t)}{g^{\prime}(t)}
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(8,0)} \frac{y^{2} e^{\frac{x^{2}}{y^{2}}}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(8,0)}\frac{y^{2}\,e^{\frac{x^{2}}{y^{2}}}}{x^{2}}
quando (x,y) tende a (8,0). O ponto importante é que x\to8\neq0 e y\to0, gerando uma forma que tende a \infty/\infty após substituição apropriada. Vamos usar uma mudança de variável que transforme o problema num limite unidimensional e, em seguida, aplicar a Regra de L\’Hospital (teorema III).

Passo 2

Para y\neq0 defina
t = \frac{x^{2}}{y^{2}}.
Então y^{2} = \tfrac{x^{2}}{t} e
\frac{y^{2}\,e^{\frac{x^{2}}{y^{2}}}}{x^{2}} = \frac{\tfrac{x^{2}}{t}\;e^{t}}{x^{2}} = \frac{e^{t}}{t}.
Quando (x,y)\to(8,0), temos x\to8 fixo e y\to0 implica t = x^{2}/y^{2}\to+\infty. Portanto o limite original é igual a
\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t}.

Passo 3

No limite unidimensional
\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t}
vemos uma forma \infty/\infty. Aplicando a Regra de L\’Hospital (teorema III), derivamos numerador e denominador em relação a t:
\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t} =\lim_{t\to+\infty}\frac{\frac{d}{dt}(e^{t})}{\frac{d}{dt}(t)} =\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{1} =\lim_{t\to+\infty}e^{t}=+\infty.
Logo o limite diverge para +\infty.

Resposta

O limite é +\infty.

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