Para F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) e G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) funções de n variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, e G é uma função limitada, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot G\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} \frac{\operatorname{sen}\left[F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]}{F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=1
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando t tende a algum valor a, tivermos f(t) \rightarrow 0 \mathrm{e} g(t) \rightarrow 0, ou tivermos f(x) \rightarrow \infty e g(x) \rightarrow \infty (indiferente se é +\infty ou -\infty ), então é verdade que
\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(t)}{g^{\prime}(t)}
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,3)} 6(x+3)+(y-3) \operatorname{sen}\left[\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} x\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y)\to(1,3)} \Bigl[6(x+3) + (y-3)\,\operatorname{sen}\bigl[\operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\bigr]\Bigr].
O conteúdo aqui envolve limites de funções contínuas e um produto de algo que tende a zero com uma função limitada, de modo que precisaremos usar o Teorema (I).

Passo 2

Analisamos o primeiro termo 6(x+3). Como é um polinômio em x, é contínuo, logo
\lim_{(x,y)\to(1,3)}6(x+3) =6\bigl(1+3\bigr) =24.

Passo 3

Agora o segundo termo (y-3)\,\operatorname{sen}\bigl[\operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\bigr].
  1. Defina
F(x,y)=y-3, \quad G(x,y)=\operatorname{sen}\bigl[\operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\bigr].
  1. Quando (x,y)\to(1,3), temos F(x,y)\to0.
  2. A função G(x,y) é um composto de \operatorname{sen} e \operatorname{tg}, e para todo x onde \operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) está definido, vale |\operatorname{sen}(\cdot)|\le1. Logo G é limitada.
  3. Pelo Teorema (I),
\lim_{(x,y)\to(1,3)}F(x,y)\,G(x,y)=0.

Passo 4

Somando as duas parcelas, o limite total é
24 + 0 = 24.

Resposta

24

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