Para
e
funções de
variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, e
é uma função limitada, então
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se
tende a 0 quando
tende a um ponto
, então
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando
tende a algum valor
, tivermos
, ou tivermos
e
(indiferente se é
ou
), então é verdade que
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
(I) Se
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
O conteúdo aqui envolve limites de funções contínuas e um produto de algo que tende a zero com uma função limitada, de modo que precisaremos usar o Teorema (I).
Passo 2
Analisamos o primeiro termo
. Como é um polinômio em
, é contínuo, logo
Passo 3
Agora o segundo termo
.
- Defina
- Quando
, temos . - A função
é um composto de e , e para todo onde está definido, vale . Logo é limitada. - Pelo Teorema (I),
Passo 4
Somando as duas parcelas, o limite total é