Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,6)} \frac{3 x-2 y}{9 x^{2}-12 x y+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(4,6)}\frac{3x-2y}{9x^{2}-12xy+4y^{2}}
não existe, usando limites ao longo de curvas. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e o critério de que, se ao aproximar por duas curvas diferentes o valor tende a resultados distintos, o limite não existe.

Passo 2

Observe que o denominador é um quadrado perfeito:
9x^{2}-12xy+4y^{2}=(3x-2y)^{2}.
Logo, para pontos em que 3x-2y\neq0, a função fica
\frac{3x-2y}{9x^{2}-12xy+4y^{2}} =\frac{3x-2y}{(3x-2y)^{2}} =\frac{1}{3x-2y}.
Nas proximidades de (4,6), exceto sobre a reta 3x-2y=0, podemos usar essa forma simplificada.

Passo 3

Escolha a curva horizontal y=6 e faça x\to4. Então
f(x,6)=\frac{3x-2\cdot6}{9x^{2}-12x\cdot6+4\cdot6^{2}} =\frac{3x-12}{9x^{2}-72x+144} =\frac{3(x-4)}{9(x-4)^{2}} =\frac{1}{3(x-4)}.
Ao aproximar x\to4^{+}, x-4>0 e f(x,6)\to+\infty. Ao aproximar x\to4^{-}, x-4<0 e f(x,6)\to-\infty. Em particular, ao vir pela direita, o limite é +\infty.

Passo 4

Escolha a curva vertical x=4 e faça y\to6. Então
f(4,y)=\frac{3\cdot4-2y}{9\cdot4^{2}-12\cdot4\,y+4y^{2}} =\frac{12-2y}{144-48y+4y^{2}} =\frac{-2(y-6)}{4(y-6)^{2}} =-\frac{1}{2(y-6)}.
Ao aproximar y\to6^{+}, y-6>0 e f(4,y)\to-\infty.

Passo 5

Pela curva y=6, f\to+\infty ao vir de x>4; pela curva x=4, f\to-\infty ao vir de y>6. Como os limites ao longo de duas curvas dão resultados diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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