Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe, usando limites ao longo de curvas. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e o critério de que, se ao aproximar por duas curvas diferentes o valor tende a resultados distintos, o limite não existe.
Passo 2
Observe que o denominador é um quadrado perfeito:
Logo, para pontos em que
, a função fica
Nas proximidades de
, exceto sobre a reta
, podemos usar essa forma simplificada.
Passo 3
Escolha a curva horizontal
e faça
. Então
Ao aproximar
,
e
. Ao aproximar
,
e
. Em particular, ao vir pela direita, o limite é
.
Passo 4
Escolha a curva vertical
e faça
. Então
Ao aproximar
,
e
.
Passo 5
Pela curva
,
ao vir de
; pela curva
,
ao vir de
. Como os limites ao longo de duas curvas dão resultados diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.