Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(5,0)} \frac{1}{x y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(5,0)} \frac{1}{x\,y}
não existe. O conteúdo usado será o de limites de funções de várias variáveis por caminhos diferentes: se ao longo de duas curvas distintas que levam ao mesmo ponto a função tende a valores diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Considere a curva C_1 dada por
x=5, \quad y\to0^+.
Ao longo de C_1 a função vale
\frac{1}{x\,y} = \frac{1}{5\,y},
e, quando y\to0^+, temos
\frac{1}{5\,y}\to+\infty.

Passo 3

Agora considere a curva C_2 dada por
x=5, \quad y\to0^-.
Ao longo de C_2 a função vale novamente
\frac{1}{5\,y},
mas agora, quando y\to0^-, temos
\frac{1}{5\,y}\to-\infty.

Passo 4

Vimos que ao abordar (5,0) por C_1 a função diverge para +\infty e, por C_2, para -\infty. Como não há um valor único (finito ou infinito) para o limite, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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