Um floculador mecanizado é composto de quatro câmaras em série, de dimensöes:
-dimensðes: 4,65 \times 4,65 \mathrm{~m};
-Profundidade útil: 5,20 \mathrm{~m}.
No interior de cada uma delas há uma turbina, de diâmetro de um m. Segundo o fabricante dessas turbinas, o número de potência determinado para esse tipo de equipamento é igual a K_{1}=0,5.
a) Quais deverăo ser as velocidades de rotação para que os gradientes de velocidade sejam iguais a:
1{ }^{\text {a }} câmara: 70 \mathrm{~s}^{-1}
2^{\text {a }} câmara: 50 \mathrm{~s}^{-1}
3^{\mathrm{a}} câmara: 35 \mathrm{~s}^{-1}
4^{4} câmara: 20 \mathrm{~s}^{-1}
b) Julgue o tempo de detenção hidráulica confrontando-o com a NBR 12.216, para uma vazão de 5,5 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{h}.
Equaçoes e dados:
P o t=K_{r} . \rho . n^{3} . D^{5}
Pot =G^{2} . \mu . V
Viscosidade cinemática da água a \mathrm{T}=30^{\circ} \mathrm{C}=0,8 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} / \mathrm{s}
Massa especifica da água a \mathrm{T}=30^{\circ} \mathrm{C}=10^{\prime} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos:
  • Pedido:
    • (a) Determinar as velocidades de rotação necessárias para que os gradientes de velocidade G em cada câmara sejam:
      • 1^{\text{a}} câmara: G=70\\ \mathrm{s}^{-1}
      • 2^{\text{a}} câmara: G=50\\ \mathrm{s}^{-1}
      • 3^{\text{a}} câmara: G=35\\ \mathrm{s}^{-1}
      • 4^{\text{a}} câmara: G=20\\ \mathrm{s}^{-1}
    • (b) Calcular o tempo de detenção hidráulica para a vazão Q=5{,}5\\ \mathrm{m^{3}/h} e julgá‑lo confrontando com a NBR 12.216.
  • Dados geométricos e de equipamentos:
    • Dimensões de cada câmara (planta): 4{,}65\times 4{,}65\\ \mathrm{m}.
    • Profundidade útil de cada câmara: 5{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Há 4 câmaras em série (todas com as mesmas dimensões).
    • Diâmetro da turbina em cada câmara: D=1{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Número de potência do fabricante: K_{r}=0{,}5.
  • Equações fornecidas:
    • Potência hidráulica da turbina: \mathrm{Pot} = K_{r}\,\rho\,n^{3}\,D^{5}onde n é a velocidade de rotação (em \mathrm{s}^{-1}, isto é, rotações por segundo).
    • Relação entre potência e gradiente de velocidade: \mathrm{Pot} = G^{2}\,\mu\,Vonde G é o gradiente de velocidade ( \mathrm{s}^{-1}), \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s) e V é o volume da câmara (m^3).
  • Propriedades do fluido (água a 30^\circ\mathrm{C}):
    • Viscosidade dinâmica: \mu = 0{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Massa específica: \rho = 1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} (valor usual aproximado para água a 30^\circ\mathrm{C}).
Com isso, temos tudo que precisamos para começar a resolver.

Passo 2

Vou explicar a ideia física e as fórmulas que vamos usar, apresentando cada variável e sua unidade, para você entender bem como aplicar na prova.
  • A potência entregue pela turbina (Pot) pode ser expressa de duas maneiras:
    1. Pela característica do agitador/turbina (número de potência): \mathrm{Pot} = K_{r}\,\rho\,n^{3}\,D^{5}.
      • K_{r} é adimensional (número de potência do equipamento).
      • \rho em \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
      • n em \mathrm{s^{-1}} (rotações por segundo).
      • D em \mathrm{m}.
      • A unidade resultante de Pot é \mathrm{W} = \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-3}}.
    2. Pela dissipação necessária para manter um gradiente de velocidade G: \mathrm{Pot} = G^{2}\,\mu\,V.
      • G em \mathrm{s^{-1}}.
      • \mu em \mathrm{Pa\cdot s} = \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}.
      • V em \mathrm{m^{3}}.
      • Novamente Pot em \mathrm{W}.
  • Igualando as duas expressões obtemos uma relação que permite resolver n em função de G, V e das propriedades do sistema. É assim que encontraremos a velocidade de rotação necessária para produzir o gradiente G desejado.

Passo 3

Agora vamos isolar n algebraicamente. Igualando as expressões:
K_{r}\,\rho\,n^{3}\,D^{5} = G^{2}\,\mu\,V.
Isolando n:
n^{3} = \dfrac{G^{2}\,\mu\,V}{K_{r}\,\rho\,D^{5}}
Portanto
n = \left(\dfrac{G^{2}\,\mu\,V}{K_{r}\,\rho\,D^{5}}\right)^{1/3}.
Observação: esse n está em \mathrm{s^{-1}}. Para obter rotações por minuto (rpm) usamos n_{\mathrm{rpm}} = 60\,n.

Passo 4

Calculando o volume de uma câmara, mostrando passo a passo:
  • Área da base: A = 4{,}65 \times 4{,}65\\ \mathrm{m}^{2}. A = 4{,}65^{2} = 21{,}6225\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Volume útil de cada câmara: V = A \times \text{profundidade} = 21{,}6225 \times 5{,}20 = 112{,}437\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume total do floculador (4 câmaras): V_{\text{total}} = 4\,V = 4 \times 112{,}437 = 449{,}748\\ \mathrm{m^{3}}.
Guardei V = 112{,}437\\ \mathrm{m^{3}} para usar em cada câmara (cada turbina trata o volume de sua câmara).

Passo 5

Calcular constantes numéricas que vão facilitar os cálculos numéricos:
  • Produto \mu\,V:
    \mu\,V = 0{,}8\times 10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}\times 112{,}437\\ \mathrm{m^{3}} = 0{,}0008 \times 112{,}437 = 0{,}0899496\\ \mathrm{(SI)}.
    (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}} / \mathrm{s^{2}} — consistente para energia/dissipação; basta usar o número).
  • Denominador K_{r}\,\rho\,D^{5}:
    K_{r}\,\rho\,D^{5} = 0{,}5 \times 1000 \times 1^{5} = 500.
  • Podemos montar o fator constante
    A = \dfrac{\mu\,V}{K_{r}\,\rho\,D^{5}} = \dfrac{0{,}0899496}{500} = 0{,}0001798992.
Então a fórmula prática será
n = \left( A\,G^{2} \right)^{1/3},\quad A=0{,}0001798992.

Passo 6

Calcular n para cada câmara (faço passo a passo, mostrando os produtos intermediários e a conversão para rpm). Lembre que n aqui é em \mathrm{s^{-1}} e n_{\mathrm{rpm}}=60\,n.
  1. Para G=70\\ \mathrm{s^{-1}}
  • G^{2} = 70^{2} = 4900.
  • Produto A\,G^{2} = 0{,}0001798992 \times 4900 = 0{,}88150608.
  • n = (0{,}88150608)^{1/3} \approx 0{,}959\\ \mathrm{s^{-1}}. (cálculo da raiz cúbica: 0{,}959^{3}\approx 0{,}882; arredondamento adequado)
  • Em rpm: n_{\mathrm{rpm}} = 60 \times 0{,}959 \approx 57{,}5\\ \mathrm{rpm}.
  1. Para G=50\\ \mathrm{s^{-1}}
  • G^{2} = 50^{2} = 2500.
  • A\,G^{2} = 0{,}0001798992 \times 2500 = 0{,}449748.
  • n = (0{,}449748)^{1/3} \approx 0{,}765\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Em rpm: n_{\mathrm{rpm}} = 60 \times 0{,}765 \approx 45{,}9\\ \mathrm{rpm}.
  1. Para G=35\\ \mathrm{s^{-1}}
  • G^{2} = 35^{2} = 1225.
  • A\,G^{2} = 0{,}0001798992 \times 1225 = 0{,}22037652.
  • n = (0{,}22037652)^{1/3} \approx 0{,}605\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Em rpm: n_{\mathrm{rpm}} = 60 \times 0{,}605 \approx 36{,}3\\ \mathrm{rpm}.
  1. Para G=20\\ \mathrm{s^{-1}}
  • G^{2} = 20^{2} = 400.
  • A\,G^{2} = 0{,}0001798992 \times 400 = 0{,}07195968.
  • n = (0{,}07195968)^{1/3} \approx 0{,}416\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Em rpm: n_{\mathrm{rpm}} = 60 \times 0{,}416 \approx 25{,}0\\ \mathrm{rpm}.
Observação pedagógica: para extrair a raiz cúbica sem calculadora científica, você pode aproximar buscando um número x tal que x^{3} esteja próximo do valor; tabelas de cubos pequenos ajudam (ex.: 0{,}4^{3}=0{,}064, 0{,}5^{3}=0{,}125, etc.). Aqui usei aproximações com três algarismos significativos.

Passo 7

Calcular o tempo de detenção hidráulica e converter unidades:
  • Volume total do sistema (já calculado no Passo 4): V_{\text{total}} = 449{,}748\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Vazão dada: Q = 5{,}5\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Tempo de detenção hidráulica: t = \dfrac{V_{\text{total}}}{Q} = \dfrac{449{,}748}{5{,}5}\\ \mathrm{h} \approx 81{,}772\\ \mathrm{h}.
  • Converter para horas e minutos: 0{,}772\\ \mathrm{h} \times 60 \approx 46{,}3\\ \mathrm{min}.
    Portanto t \approx 81\\ \mathrm{h}\\\ 46\\ \mathrm{min} \quad(\text{aprox. }81{,}77\\ \mathrm{h}).
  • Em dias: 81{,}77\\ \mathrm{h}\div 24 \approx 3{,}41\\ \mathrm{dias}.
Esses são cálculos diretos: volume grande dividido por vazão pequena resulta em tempo de detenção muito grande.

Passo 8

Confronto com a NBR 12.216 (julgamento):
  • Em projetos de floculação, as recomendações usuais de tempo de detenção são da ordem de minutos (tipicamente entre aproximadamente 20 e 40 minutos, dependendo da prática e da norma técnica aplicável). A NBR 12.216 trata de parâmetros de tratamento e, na prática, exige tempos de floculação muito menores que horas.
  • Comparando: o tempo calculado t\approx 81{,}77\\ \mathrm{h} é colossal frente às recomendações típicas (algumas dezenas de minutos). Logo, o tempo de detenção hidráulica calculado excede em muito (por ordens de grandeza) o intervalo usual recomendado pela norma para etapas de floculação.
  • Interpretação prática: ou a vazão considerada ( 5{,}5\\ \mathrm{m^{3}/h}) é muito baixa para essas dimensões do floculador, ou as dimensões/volume do floculador não são compatíveis com a vazão de projeto — na prática um floculador seria muito menor ou a vazão muito maior. Portanto, em termos de conformidade prática com a NBR, esse tempo não é adequado (é muito grande).
Força aí — isso quer dizer que algo do projeto deveria ser revisto (reduzir volumes, aumentar vazão design, dividir em mais linhas, etc.) para ficar dentro da prática normativa.

Resposta

(a) Velocidades de rotação necessárias em cada câmara:
1ª câmara: n \approx 0{,}959\\ \mathrm{s^{-1}} \approx 57{,}5\\ \mathrm{rpm}
2ª câmara: n \approx 0{,}765\\ \mathrm{s^{-1}} \approx 45{,}9\\ \mathrm{rpm}
3ª câmara: n \approx 0{,}605\\ \mathrm{s^{-1}} \approx 36{,}3\\ \mathrm{rpm}
4ª câmara: n \approx 0{,}416\\ \mathrm{s^{-1}} \approx 25{,}0\\ \mathrm{rpm}
(b) Tempo de detenção hidráulica:
t = \dfrac{V_{\text{total}}}{Q} = \dfrac{449{,}748\\ \mathrm{m^{3}}}{5{,}5\\ \mathrm{m^{3}/h}} \approx 81{,}77\\ \mathrm{h}\\ (\approx 81\\ \mathrm{h}\\\ 46\\ \mathrm{min})
Confrontando com a NBR 12.216 (e práticas usuais de floculação, que recomendam tempos da ordem de dezenas de minutos), o tempo calculado é muito maior do que o recomendado — portanto não está compatível (excesso de tempo; indicar revisão de projeto).

Exercícios relacionados