A fluidização é um fenômeno amplamente utilizado em processos industriais, especialmente na engenharia química e na conversão termoquímica de materiais particulados. Esse processo ocorre quando um fluido, seja gás ou liquido, é passado através de um leito de particulas sólidas a uma velocidade suficientemente alta para suspender os sólidos, fazendo com que se comportem como um fluido. Considere um sistema experimental onde particulas de dolomita são fluidizadas pelo ar em um tubo cilíndrico com 10 cm de diâmetro interno. A dolomita, um carbonato duplo de cálcio e magnésio \left(\mathrm{CaMg}\left(\mathrm{CO}_{3}\right)_{2}\right), é frequentemente empregada em processos de dessulfuração e conversāo térmica de biomassa, devido à sua capacidade de capturar compostos ácidos. Sabendo que a fluidização depende de parâmetros como densidade e diâmetro das partículas, viscosidade e velocidade do ar, tem-se os seguintes dados:
Vazão de ar
(\mathrm{L} / \mathrm{min})
Queda de pressão
(\mathrm{cm} de coluna de água)
Altura do leito
(\mathrm{cm})
21,3
74,4
57,3
17,2
73,0
55,3
14,3
71,7
54,3
11,4
69,3
51,2
9,54
67,6
50,2
7,20
51,0
50,2
5,30
37,6
50,1
3,20
22,7
50,0
Propriedades fisicas das particulas:
→ Densidade: 2,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
→ Diâmetro médio de peneira: 0,18 \mathrm{~mm};
→ Esfericidade: 0,60; \boldsymbol{\rightarrow} Massa de particulas sólidas: \mathbf{5 3 8 0 g}.
Fluidização com ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm (densidade: 1,2 \times 10^{-3} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e viscosidade: 1,75 \times 10^{-4} \mathrm{P} ). Pedese:
A) Classificação de Geldart da dolomita
B) Determinar através dos dados experimentais a porosidade e a velocidade na fluidização minima.
C) Verificar o resultado clássico da fluidização:
\Delta \mathrm{P}=\mathrm{W} / \mathrm{A}
onde \Delta \mathrm{P} é a queda de pressão no leito, W é o peso aparente da fase sólida e A é a área de seção de fluidização.
D) Estimar o valor da velocidade na fluidização mínima a partir da equação válida para o escoamento darcyano de fluido:
onde \varphi é a esfericidade das particulas sólidas, \varepsilon_{m t} a porosidade na fluidização minima e d o diâmetro médio das partículas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (peguei os valores de vazão, queda de pressão e altura do leito da tabela / figura fornecida).
O enunciado pede:
(A) Classificar a dolomita segundo Geldart.
(B) Determinar, a partir dos dados experimentais, a porosidade na fluidização mínima e a velocidade na fluidização mínima.
(C) Verificar a relação clássica \Delta P = W/A.
(D) Estimar a velocidade de fluidização mínima usando a fórmula darciana dada.
Dados fornecidos (usei diretamente os números da tabela / figura):
Diâmetro interno do tubo: D=10\\ \mathrm{cm}.
Tabela (cada linha: vazão, queda de pressão, altura do leito):
Constante gravitacional utilizada: g=981\\ \mathrm{cm/s^2} (valor em unidades cgs).
Observação importante: para determinar a velocidade na fluidização mínima experimentalmente, vou identificar o ponto em que a queda de pressão atinge um platô (ou quase constante) ao aumentar Q e onde começa a expansão do leito (aumento de H). Esses são critérios clássicos experimentais de incipiente de fluidização.
Passo 2
Cálculo da área de seção transversal do tubo (vai servir para converter vazão superficial em velocidade superficial).
Identificação experimental da fluidização mínima (explicação didática do critério e escolha do ponto):
Conceito curto: na subida de vazão a queda de pressão através do leito aumenta até que todo o peso aparente do leito seja sustentado pelo fluido; a partir daí a \Delta P fica praticamente constante (platô) e o leito começa a expandir (a altura H aumenta). O ponto de incipiente de fluidização costuma ser onde aparece esse platô e início de subida mais lenta de \Delta P.
Observando os dados (peguei os números da tabela): para Q\le 7,20\\ \mathrm{L/min} os valores de \Delta P são baixos e crescem; entre Q=7,20 e Q=9,54\\ \mathrm{L/min} há um salto grande em \Delta P (de 51,0 para 67,6\\ \mathrm{cm\\ H_2O}); para Q\ge 9,54\\ \mathrm{L/min} a \Delta P permanece aproximadamente constante em torno de 68\text{--}74\\ \mathrm{cm\\ H_2O} enquanto o leito começa a aumentar de altura. Portanto tomo o ponto de fluidização mínima experimental como:
Vazão na fluidização mínima experimental: Q_{mf,\text{exp}}=9,54\\ \mathrm{L/min}.
Altura do leito correspondente: H_{mf}=50,2\\ \mathrm{cm}.
Comentário prático: essa escolha segue o critério clássico (início do platô e início da expansão do leito).
Passo 4
Cálculo da porosidade na fluidização mínima (\varepsilon_{mf}) a partir da geometria e massa de sólidos.
Definição: porosidade do leito é a fração de volume ocupada pelo fluido:
\varepsilon = 1 - \frac{V_s}{V_{\text{leito}}}
onde V_s é o volume ocupado pelas partículas sólidas e V_{\text{leito}}=A H é o volume do leito. Como V_s = m_s/\rho_s obtemos:
\varepsilon = 1 - \frac{m_s}{\rho_s A H}.
Substituindo os valores (todos em unidades cgs):
m_s = 5380\\ \mathrm{g}.
\rho_s = 2,6\\ \mathrm{g/cm^3}.
A\approx 78,54\\ \mathrm{cm^2} (do Passo 2).
H_{mf}=50,2\\ \mathrm{cm}.
\rho_s A H = 2,6\cdot 78,54\cdot 50,2 \\ \mathrm{g} \approx 10251,04\\ \mathrm{g}.
Resultado arredondado: \varepsilon_{mf}\approx 0,475 (ou seja, cerca de 47,5\% de vazio).
Passo 5
Verificação da relação clássica \Delta P = W/A (cálculo do valor teórico e comparação com os dados experimentais).
Primeiro interpretar W: peso aparente da fase sólida (força resultante peso menos empuxo). Em cgs, a altura em cm de coluna de água correspondente é dada por:
\Delta P\\ (\text{em cm H\(_2\)O}) \;=\; \frac{W}{A\ \rho_{\rm water}\ g}.
Como \rho_{\rm water}=1\\ \mathrm{g/cm^3} e W=g\cdot m_s\left(1-\dfrac{\rho}{\rho_s}\right), simplifica-se para:
Comparação com experimentos: para Q\ge 9,54\\ \mathrm{L/min} os valores experimentais de \Delta P são \{67,6,\\\ 69,3,\\\ 71,7,\\\ 73,0,\\\ 74,4\}\\ \mathrm{cm\\ H_2O}. A média desse platô experimental é
Conclusão: o valor teórico \approx 68{,}5\\ \mathrm{cm\\ H_2O} está muito próximo do platô experimental (\approx 71{,}2\\ \mathrm{cm\\ H_2O}), confirmando razoavelmente a relação \Delta P \approx W/A dentro de incertezas experimentais.
Passo 6
Cálculo da velocidade superficial experimental na fluidização mínima U_{mf,\text{exp}} a partir da vazão medida.
(essa linha mostra o produto numérico em unidades \mathrm{g\\ cm/s^2 \cdot cm^2 / (g/cm^3) ...} — o resultado final tem dimensão de velocidade quando dividido pelo denominador correto)
Diferença muito pequena (ordem de <1\%), indicando excelente concordância entre a estimativa darciana e o valor experimental obtido.
Passo 8
Classificação segundo Geldart (explicação didática e decisão).
Ideia rápida: a classificação de Geldart separa partículas em grupos (A, B, C, D) principalmente pela faixa de diâmetro e comportamento de fluidização (agregação, expansão, formação de bolhas). Para referência prática comum:
Grupo C: partículas muito finas e coesivas (típico d_p\lesssim 30\\ \mu\mathrm{m}).
Grupo A: partículas finas mais fluidizáveis que exibem expansão (tipicamente algumas dezenas de \mu\mathrm{m} até cerca de 100\\ \mu\mathrm{m}, dependendo da densidade).
Grupo B: partículas mais grosseiras (tipicamente \sim 100\text{–}500\\ \mu\mathrm{m}) que formam leito em regime de bolhas.
Grupo D: partículas grandes e pesadas (>500\\ \mu\mathrm{m} em muitos casos).
Densidade \rho_s = 2,6\\ \mathrm{g/cm^3} (moderada/alta).
Conclusão: com d\approx 180\\ \mu\mathrm{m} a dolomita comporta-se tipicamente como partículas do Grupo B (comportamento de bolhas; é a faixa usual para materiais que fluidizam formando bolhas). Logo a classificação de Geldart é Grupo B.
Resposta
(A) Grupo B.
(B) \varepsilon_{mf}\approx 0{,}475. \;U_{mf,\text{exp}}\approx 2{,}025\\ \mathrm{cm/s}\;(\approx 0{,}02025\\ \mathrm{m/s}).
(C) \Delta P_{\text{teo}}\approx 68{,}5\\ \mathrm{cm\\ H_2O}; platô experimental médio \approx 71{,}2\\ \mathrm{cm\\ H_2O} (diferença \approx 5{,}3\%), confirmando \Delta P\approx W/A.
(D) q_{mf} (pela expressão darciana) \approx 2{,}04\\ \mathrm{cm/s}\;(\approx 0{,}0204\\ \mathrm{m/s}), em excelente acordo com o experimental.