Um agitador de turbina com seis pás planas e um disco tem um diâmetro de 0,203 \mathrm{~m} e é usado em um tanque com diâmetro de 0,61 \mathrm{~m}
e altura de 0,61 \mathrm{~m}. A largura \mathrm{W}=0,0405 \mathrm{~m}. Quatro defletores, cada um com 0,051 \mathrm{~m} de largura, são utilizados. A turbina opera a 275 rpm em um líquido com densidade de 909 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade de 0,020 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}.
(a) Calcule a potência em kW da turbina e o volume em \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{3}.
(b) Amplie este sistema para um recipiente com volume 100 vezes maior que o original, assumindo as mesmas taxas de transferência de massa.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a potência da turbina em kW e a potência específica (potência por volume) em \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3; (b) escalar o sistema para um recipiente com volume 100 vezes maior, mantendo as mesmas taxas de transferência de massa, e informar o que isso implica em potência.
Dados fornecidos (vou listar exatamente cada valor dado no enunciado):
\;D=0,203\\ \mathrm{m} (diâmetro da turbina)
\;D_t=0,61\\ \mathrm{m} (diâmetro do tanque)
\;H=0,61\\ \mathrm{m} (altura do tanque)
\;W=0,0405\\ \mathrm{m} (largura da pá — dado geométrico)
\;b=0,051\\ \mathrm{m} (largura de cada defletor; há quatro, mas usaremos os dados quando necessário)
\;N=275\\ \mathrm{rpm} (velocidade de rotação do agitador)
\;\rho=909\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (densidade do líquido)
\;\mu=0,020\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s} (viscosidade do líquido)
Observação: o enunciado não pede alterações de geometria nem dimensões do agitador ao escalar; pede manter as mesmas taxas de transferência de massa. A partir desses dados vamos calcular a potência usando a correlação de número de potência (método padrão para agitadores).

Passo 2

Apresentando a estratégia (método escolhido) de forma simples e por que:
  • Para estimar a potência de um agitador frequentemente usamos a expressão empírica
P = N_P\,\rho\,N^3 D^5,
onde P é a potência (W), N_P é o número de potência (adimensional), \rho é a densidade ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), N é a velocidade de rotação em \mathrm{s}^{-1} e D é o diâmetro do agitador (m). Vou explicar o que é cada termo:
  • \rho aparece porque a potência necessária depende da massa de fluido sendo agitada.
  • N^3 D^5 vem de análise dimensional para movimentos rotacionais: velocidade típica \sim ND, comprimento \sim D, então potência (força × velocidade) escala como \rho (ND)^2 (ND) D^3 = \rho N^3 D^5.
  • N_P é um número adimensional que incorpora a geometria do agitador (nº de pás, presença de disco, baffles) e o regime de escoamento (dependendo do número de Reynolds). Valores tabulados para turbinas de pás planas/disco (tipo Rushton e semelhantes) em regime totalmente turbulento ficam em torno de N_P\approx 4\text{ a }6.
Antes de aplicar a fórmula precisamos avaliar o regime de escoamento via número de Reynolds do agitador, para saber se o valor constante de N_P é aplicável.

Passo 3

Calcular a velocidade angular em \mathrm{s}^{-1} e o número de Reynolds do agitador:
Converter N de rpm para \mathrm{s}^{-1}:
N = \frac{275}{60} = 4,5833\\ \mathrm{s}^{-1}.
A definição de Reynolds para um agitador é
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,N\,D^2}{\mu}.
Substituindo os valores (tudo em unidades SI):
D^2 = (0,203)^2 = 0,041209\\ \mathrm{m}^2,
\mathrm{Re} = \frac{909\cdot 4,5833\cdot 0,041209}{0,020}.
Agora calculamos passo a passo: 4,5833\cdot 0,041209 = 0,1889. Multiplicando por \rho:
909\cdot 0,1889 = 171,7\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s})),
dividindo por \mu=0,020:
\mathrm{Re} \approx \frac{171,7}{0,020} = 8\,585\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 8{,}6\times 10^{3} é uma região de transição (não estritamente laminar nem totalmente turbulenta). Para agitadores industriais, quando \mathrm{Re} é menor que 10^4 estamos no regime de transição; muitos valores de N_P tabelados são para o regime turbulento. Aqui temos que decidir uma aproximação prática.

Passo 4

Escolha do valor de N_P (justificativa e aproximação):
  • Para turbinas de pás planas com disco e com baffles (situação típica dada — seis pás + disco + defletores), valores experimentais de N_P em regime turbulento ficam próximos de 5.
  • Nosso \mathrm{Re} está na transição, mas é relativamente alto ( \sim 8{,}6\times 10^3), então uma aproximação prática e comum em problemas de prova é assumir o valor de N_P correspondente ao regime turbulento próximo: vou adotar
N_P = 5{,}0.
Comentário amigável: se você fizesse uma conta mais refinada poderia usar curvas experimentais N_P(\mathrm{Re}), mas em provas normalmente tomar N_P=5 para uma turbina de pás planas é aceitável e facilita os cálculos — e o resultado fica com a ordem de grandeza correta.

Passo 5

Aplicar a fórmula da potência passo a passo:
Fórmula:
P = N_P\,\rho\,N^3 D^5.
Já temos N_P=5{,}0, \rho=909, N=4,5833\\ \mathrm{s}^{-1}, D=0,203\\ \mathrm{m}. Calculamos potências parciais:
N^3 = (4,5833)^3 = 96,248\\ \mathrm{s}^{-3}.
Calcular D^5 em etapas:
D^2 = 0,041209,\quad D^3 = 0,041209\cdot 0,203 = 0,008369,
D^4 = 0,008369\cdot 0,203 = 0,001699,
D^5 = 0,001699\cdot 0,203 = 0,0003449\\ \mathrm{m}^5.
Multiplicando N^3 D^5:
N^3 D^5 = 96,248\cdot 0,0003449 = 0,03318\\ \mathrm{m}^5\mathrm{s}^{-3}.
Multiplicando por \rho:
\rho N^3 D^5 = 909\cdot 0,03318 = 30,16\\ \mathrm{kg}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-3} = 30,16\\ \mathrm{W}.
Finalmente multiplicando por N_P:
P = 5{,}0\cdot 30,16 = 150,8\\ \mathrm{W}.
Converter para kW:
P \approx 0,1508\\ \mathrm{kW}\approx 0,151\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Calcular o volume do tanque e a potência por volume:
O tanque é cilíndrico com D_t=0,61\\ \mathrm{m} e H=0,61\\ \mathrm{m}. Volume do cilindro:
V = \frac{\pi}{4}D_t^2 H.
Calcule D_t^2:
D_t^2 = (0,61)^2 = 0,3721\\ \mathrm{m}^2.
Então
V = \frac{\pi}{4}\cdot 0,3721\cdot 0,61.
Calcule passo a passo: \frac{\pi}{4}\cdot 0,3721 = 0,2923 (aprox.), multiplicando por 0,61:
V \approx 0,2923\cdot 0,61 = 0,1783\\ \mathrm{m}^3.
Potência por volume:
\frac{P}{V} = \frac{0,1508\\ \mathrm{kW}}{0,1783\\ \mathrm{m}^3} = 0,8457\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3 \approx 0,846\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3.

Passo 7

Parte (b) — escalar o sistema para volume 100 vezes maior mantendo as mesmas taxas de transferência de massa:
  • Um procedimento de engenharia comum: para manter a mesma taxa volumétrica de transferência de massa (mesmo k_L a ou mesma eficiência de aeração/mistura por volume), geralmente mantemos a mesma potência por volume \left(\dfrac{P}{V}\right). Ou seja, potência total necessária cresce proporcionalmente ao volume.
  • Logo, se o novo volume é V_{\text{novo}} = 100\cdot V, a potência necessária será
P_{\text{novo}} = 100\cdot P.
Usando P=0,1508\\ \mathrm{kW}:
P_{\text{novo}} = 100\cdot 0,1508 = 15,08\\ \mathrm{kW}.
A potência por volume permanece a mesma:
\frac{P_{\text{novo}}}{V_{\text{novo}}} = \frac{100P}{100V} = \frac{P}{V} \approx 0,846\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3.
Comentário prático: na vida real, para atingir P_{\text{novo}} você pode aumentar N (rpm), aumentar o diâmetro do agitador ou usar múltiplos agitadores; a escolha depende de limites mecânicos, geometria do tanque e considerações de escala. Aqui a pergunta pediu apenas a potência necessária sob a hipótese dada, então calculamos P_{\text{novo}} direto.

Resposta

(a) P \approx 0,151\\ \mathrm{kW}; \dfrac{P}{V}\approx 0,846\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3
(b) P_{\text{novo}}\approx 15,08\\ \mathrm{kW}; \dfrac{P_{\text{novo}}}{V_{\text{novo}}}\approx 0,846\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3

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