Um agitador de turbina com seis pás planas e um disco tem um diâmetro de
e é usado em um tanque com diâmetro de
e altura de
. A largura
. Quatro defletores, cada um com
de largura, são utilizados. A turbina opera a 275 rpm em um líquido com densidade de
e viscosidade de
.
(a) Calcule a potência em kW da turbina e o volume em
.
(b) Amplie este sistema para um recipiente com volume 100 vezes maior que o original, assumindo as mesmas taxas de transferência de massa.
e altura de
(a) Calcule a potência em kW da turbina e o volume em
(b) Amplie este sistema para um recipiente com volume 100 vezes maior que o original, assumindo as mesmas taxas de transferência de massa.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a potência da turbina em kW e a potência específica (potência por volume) em
; (b) escalar o sistema para um recipiente com volume
vezes maior, mantendo as mesmas taxas de transferência de massa, e informar o que isso implica em potência.
Dados fornecidos (vou listar exatamente cada valor dado no enunciado):
(diâmetro da turbina)
(diâmetro do tanque)
(altura do tanque)
(largura da pá — dado geométrico)
(largura de cada defletor; há quatro, mas usaremos os dados quando necessário)
(velocidade de rotação do agitador)
(densidade do líquido)
(viscosidade do líquido)
Dados fornecidos (vou listar exatamente cada valor dado no enunciado):
Observação: o enunciado não pede alterações de geometria nem dimensões do agitador ao escalar; pede manter as mesmas taxas de transferência de massa. A partir desses dados vamos calcular a potência usando a correlação de número de potência (método padrão para agitadores).
Passo 2
Apresentando a estratégia (método escolhido) de forma simples e por que:
- Para estimar a potência de um agitador frequentemente usamos a expressão empírica
onde
é a potência (W),
é o número de potência (adimensional),
é a densidade (
),
é a velocidade de rotação em
e
é o diâmetro do agitador (m). Vou explicar o que é cada termo:
-
aparece porque a potência necessária depende da massa de fluido sendo agitada. -
vem de análise dimensional para movimentos rotacionais: velocidade típica , comprimento , então potência (força × velocidade) escala como . -
é um número adimensional que incorpora a geometria do agitador (nº de pás, presença de disco, baffles) e o regime de escoamento (dependendo do número de Reynolds). Valores tabulados para turbinas de pás planas/disco (tipo Rushton e semelhantes) em regime totalmente turbulento ficam em torno de .
Antes de aplicar a fórmula precisamos avaliar o regime de escoamento via número de Reynolds do agitador, para saber se o valor constante de
é aplicável.
Passo 3
Calcular a velocidade angular em
e o número de Reynolds do agitador:
Converter de rpm para
:
Converter
A definição de Reynolds para um agitador é
Substituindo os valores (tudo em unidades SI):
Agora calculamos passo a passo:
. Multiplicando por
:
dividindo por
:
Interpretação:
é uma região de transição (não estritamente laminar nem totalmente turbulenta). Para agitadores industriais, quando
é menor que
estamos no regime de transição; muitos valores de
tabelados são para o regime turbulento. Aqui temos que decidir uma aproximação prática.
Passo 4
Escolha do valor de
(justificativa e aproximação):
- Para turbinas de pás planas com disco e com baffles (situação típica dada — seis pás + disco + defletores), valores experimentais de
em regime turbulento ficam próximos de . - Nosso
está na transição, mas é relativamente alto ( ), então uma aproximação prática e comum em problemas de prova é assumir o valor de correspondente ao regime turbulento próximo: vou adotar
Comentário amigável: se você fizesse uma conta mais refinada poderia usar curvas experimentais
, mas em provas normalmente tomar
para uma turbina de pás planas é aceitável e facilita os cálculos — e o resultado fica com a ordem de grandeza correta.
Passo 5
Aplicar a fórmula da potência passo a passo:
Fórmula:
Fórmula:
Já temos
,
,
,
. Calculamos potências parciais:
Calcular
em etapas:
Multiplicando
:
Multiplicando por
:
Finalmente multiplicando por
:
Converter para kW:
Passo 6
Calcular o volume do tanque e a potência por volume:
O tanque é cilíndrico com e
. Volume do cilindro:
O tanque é cilíndrico com
Calcule
:
Então
Calcule passo a passo:
(aprox.), multiplicando por
:
Potência por volume:
Passo 7
Parte (b) — escalar o sistema para volume
vezes maior mantendo as mesmas taxas de transferência de massa:
- Um procedimento de engenharia comum: para manter a mesma taxa volumétrica de transferência de massa (mesmo
ou mesma eficiência de aeração/mistura por volume), geralmente mantemos a mesma potência por volume . Ou seja, potência total necessária cresce proporcionalmente ao volume. - Logo, se o novo volume é
, a potência necessária será
Usando
:
A potência por volume permanece a mesma:
Comentário prático: na vida real, para atingir
você pode aumentar
(rpm), aumentar o diâmetro do agitador ou usar múltiplos agitadores; a escolha depende de limites mecânicos, geometria do tanque e considerações de escala. Aqui a pergunta pediu apenas a potência necessária sob a hipótese dada, então calculamos
direto.
Resposta
(a)
;
(b) ;
(b)