- Um fluido se desloca em um tubo termicamente isolado com velocidade constante
de forma que a evolução da temperatura
como uma função da coordenada
e do tempo é descrita pelo seguinte modelo simplificado:
Sabendo que no instante
, a temperatura foi bruscamente aquecida em uma região muito pequena, de forma que podemos considerar
Utilize a técnica das transformadas de Fourier para obter a solução desta equação diferencial quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de evolução da temperatura
com condição inicial
Pede-se: obter a solução
usando transformadas de Fourier quando
. As informações relevantes: a PDE e a condição inicial tipo delta (fonte pontual de massa térmica
). Não há outras condições de contorno explícitas, portanto assumimos domínio inteiro
.
Passo 2
Defino a transformada de Fourier (no sentido espacial
) que usarei:
A transformada inversa correspondente é
Propriedades que vou usar (assumindo decaimento suficiente em
): para derivadas espaciais vale
Expliquei o que cada símbolo significa:
é a frequência espacial (variável da transformada),
é a transformada de
em
no tempo
.
Passo 3
Aplico a transformada em
à PDE. Com
a PDE é
Tomando transformada em
em todos os termos:
Como a transformada comuta com derivada temporal,
. Usando as propriedades de derivadas espaciais:
Portanto a equação transformada fica
ou reorganizando,
Passo 4
Transformada da condição inicial: como
e
, obtemos
Agora
satisfaz a ODE ordinária em
É uma ODE de primeira ordem separável. A solução é
Expliquei: resolvemos integrando
e aplicando a condição inicial.
Passo 5
Voltamos ao espaço físico calculando a transformada inversa:
Juntando exponenciais:
Note que a integral é uma integral gaussiana complexa do tipo
.
Passo 6
Avalio a integral gaussiana. Uso a fórmula padrão (válida para
):
Aqui identifico
(como
em evolução física,
) e
. Então
Calculo o expoente:
Portanto a integral vale
Passo 7
Substituo esse resultado em
:
Simplifico o fator numérico:
Logo
Uma forma equivalente e muito usada é
Comentário didático rápido: esse resultado é a solução fundamental (número total de “unidades de temperatura” é
) deslocada pela advecção com sinal tal que o pico desloca-se segundo
(porque a equação tem termo
com
), e difundida com largura
.
Passo 8
Cheque de consistência (rápido): a massa total
deve ser
. Usando a forma gaussiana padrão, a integral dá
confirmando que a massa inicial foi preservada (esperado para PDE sem termos fonte/sumidouro).