1. Um fluido se desloca em um tubo termicamente isolado com velocidade constante v de forma que a evolução da temperatura u(x, t) como uma função da coordenada x e do tempo é descrita pelo seguinte modelo simplificado:
\frac{\partial u}{\partial t}-v \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0 .
Sabendo que no instante t=0, a temperatura foi bruscamente aquecida em uma região muito pequena, de forma que podemos considerar
u(x, 0)=500 \delta(x)
Utilize a técnica das transformadas de Fourier para obter a solução desta equação diferencial quando v=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá a equação de evolução da temperatura
\frac{\partial u}{\partial t}-v \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0
com condição inicial
u(x,0)=500\delta(x).
Pede-se: obter a solução u(x,t) usando transformadas de Fourier quando v=1\\ \mathrm{m/s}. As informações relevantes: a PDE e a condição inicial tipo delta (fonte pontual de massa térmica 500). Não há outras condições de contorno explícitas, portanto assumimos domínio inteiro x\in(-\infty,\infty).

Passo 2

Defino a transformada de Fourier (no sentido espacial x) que usarei:
\hat u(k,t)=\mathcal{F}\{u(\cdot,t)\}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
A transformada inversa correspondente é
u(x,t)=\mathcal{F}^{-1}\{\hat u(\cdot,t)\}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat u(k,t)\,e^{ikx}\,dk.
Propriedades que vou usar (assumindo decaimento suficiente em |x|\to\infty): para derivadas espaciais vale
\mathcal{F}\{u_x\}(k,t)=ik\,\hat u(k,t), \qquad \mathcal{F}\{u_{xx}\}(k,t)=(ik)^2\hat u(k,t)=-k^2\hat u(k,t).
Expliquei o que cada símbolo significa: k é a frequência espacial (variável da transformada), \hat u(k,t) é a transformada de u em x no tempo t.

Passo 3

Aplico a transformada em x à PDE. Com v=1 a PDE é
\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0.
Tomando transformada em x em todos os termos:
\mathcal{F}\{u_t\}(k,t)-\mathcal{F}\{u_x\}(k,t)-\mathcal{F}\{u_{xx}\}(k,t)=0.
Como a transformada comuta com derivada temporal, \mathcal{F}\{u_t\}=\partial_t\hat u(k,t). Usando as propriedades de derivadas espaciais:
\partial_t\hat u(k,t) - (ik)\hat u(k,t) - (-k^2)\hat u(k,t)=0.
Portanto a equação transformada fica
\partial_t\hat u(k,t) - ik\hat u(k,t) + k^2\hat u(k,t)=0,
ou reorganizando,
\partial_t\hat u(k,t) = \big(ik - k^2\big)\hat u(k,t).

Passo 4

Transformada da condição inicial: como u(x,0)=500\delta(x) e \mathcal{F}\{\delta\}(k)=1, obtemos
\hat u(k,0)=500.
Agora \hat u(k,t) satisfaz a ODE ordinária em t
\partial_t\hat u(k,t) = \big(ik - k^2\big)\hat u(k,t), \qquad \hat u(k,0)=500.
É uma ODE de primeira ordem separável. A solução é
\hat u(k,t)=\hat u(k,0)\,e^{(ik-k^2)t}=500\,e^{(ik-k^2)t}.
Expliquei: resolvemos integrando \frac{d\hat u}{\hat u}=(ik-k^2)\,dt e aplicando a condição inicial.

Passo 5

Voltamos ao espaço físico calculando a transformada inversa:
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat u(k,t)\,e^{ikx}\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}500\,e^{(ik-k^2)t}\,e^{ikx}\,dk.
Juntando exponenciais:
u(x,t)=\frac{500}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-k^2 t}\,e^{ik(x+t)}\,dk.
Note que a integral é uma integral gaussiana complexa do tipo \int e^{-a k^2 + b k}\,dk.

Passo 6

Avalio a integral gaussiana. Uso a fórmula padrão (válida para \Re(a)>0):
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a k^2 + b k}\,dk = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}}.
Aqui identifico a=t (como t>0 em evolução física, \Re(t)>0) e b=i(x+t). Então
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t k^2 + i(x+t)k}\,dk = \sqrt{\frac{\pi}{t}}\,\exp\!\left(\frac{(i(x+t))^2}{4t}\right).
Calculo o expoente:
\frac{(i(x+t))^2}{4t} = \frac{- (x+t)^2}{4t}.
Portanto a integral vale
\sqrt{\frac{\pi}{t}}\,e^{-\frac{(x+t)^2}{4t}}.

Passo 7

Substituo esse resultado em u(x,t):
u(x,t)=\frac{500}{2\pi}\cdot \sqrt{\frac{\pi}{t}}\,e^{-\frac{(x+t)^2}{4t}}.
Simplifico o fator numérico:
\frac{500}{2\pi}\sqrt{\pi}=\frac{500}{2\sqrt{\pi}}= \frac{250}{\sqrt{\pi}}.
Logo
u(x,t)=\frac{250}{\sqrt{\pi\,t}}\;e^{-\frac{(x+t)^2}{4t}}.
Uma forma equivalente e muito usada é
u(x,t)=\frac{500}{\sqrt{4\pi t}}\;e^{-\frac{(x+t)^2}{4t}}.
Comentário didático rápido: esse resultado é a solução fundamental (número total de “unidades de temperatura” é 500) deslocada pela advecção com sinal tal que o pico desloca-se segundo x=-t (porque a equação tem termo -v u_x com v=1), e difundida com largura \sim\sqrt{t}.

Passo 8

Cheque de consistência (rápido): a massa total \int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,dx deve ser 500. Usando a forma gaussiana padrão, a integral dá
\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,dx = \frac{500}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x+t)^2}{4t}}\,dx = \frac{500}{\sqrt{4\pi t}}\cdot \sqrt{4\pi t}=500,
confirmando que a massa inicial foi preservada (esperado para PDE sem termos fonte/sumidouro).

Resposta

u(x,t)=\frac{500}{\sqrt{4\pi t}}\;e^{-\frac{(x+t)^2}{4t}}.

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