f(x)= \begin{cases}\pi e^{-x} & \text { se }-\pi<x<0 \\\ \pi e^{x} & \text { se } 0<x<\pi\end{cases}

Passo 1

Temos a função dada por
f(x)= \begin{cases}\pi e^{-x} & \text{se } -\pi<x<0,\\[4pt] \pi e^{x} & \text{se } 0<x<\pi.\end{cases}
Informações relevantes e o que vamos buscar:
  • A função está definida por partes no intervalo (-\pi,\pi). O valor em x=0 ou nos extremos \pm\pi não foi especificado; isso não altera a série de Fourier (apenas o valor pontual).
  • Observação imediata (peguei isso diretamente da definição acima): para x\in(0,\pi) temos f(-x)=\pi e^{x}=f(x). Logo a função é par em (-\pi,\pi).
  • Objetivo que vou resolver: obter a série de Fourier (serie de Fourier de período 2\pi) da extensão periódica de f a partir de (-\pi,\pi). Vou calcular os coeficientes e escrever a série completa.]

Passo 2

Breve explicação didática das fórmulas que usaremos (sem pular etapas):
  • A série de Fourier de uma função de período 2\pi é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt.
  • Como f é par (isto é, f(-x)=f(x)), o produto f(x)\sin(nx) é função ímpar. A integral de uma função ímpar em [-\pi,\pi] é zero, portanto
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
  • Para funções pares, as integrais simétricas reduzem-se a duas vezes a integral em [0,\pi]. Assim:
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\,dt,\qquad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt.
Vou aplicar essas fórmulas ao nosso f.

Passo 3

Cálculo de a_0 passo a passo:
  • Para t\in(0,\pi) temos f(t)=\pi e^{t}. Então
\int_{0}^{\pi}f(t)\,dt=\int_{0}^{\pi}\pi e^{t}\,dt = \pi\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{\pi} = \pi\bigl(e^{\pi}-1\bigr).
  • Logo
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\,dt=\frac{2}{\pi}\cdot\pi\bigl(e^{\pi}-1\bigr)=2\bigl(e^{\pi}-1\bigr).
  • O termo constante da série (o termo a_0/2) é então
\frac{a_0}{2}=e^{\pi}-1.

Passo 4

Cálculo de a_n. Montagem da integral e simplificação inicial:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\pi e^{t}\cos(nt)\,dt =2\int_{0}^{\pi}e^{t}\cos(nt)\,dt.
Portanto precisamos calcular a integral
I_n=\int_{0}^{\pi}e^{t}\cos(nt)\,dt.

Passo 5

Cálculo de I_n=\int e^{t}\cos(nt)\,dt via integração por partes (mostrar passo a passo):
  • Seja I=\int e^{t}\cos(nt)\,dt e J=\int e^{t}\sin(nt)\,dt.
  • Primeiro, integrar por partes I: tome u=e^{t} e dv=\cos(nt)\,dt. Então du=e^{t}dt e v=\frac{1}{n}\sin(nt). Assim
I=\frac{e^{t}}{n}\sin(nt)-\frac{1}{n}\int e^{t}\sin(nt)\,dt =\frac{e^{t}}{n}\sin(nt)-\frac{1}{n}J.
  • Agora calcular J por partes: tome u=e^{t} e dv=\sin(nt)\,dt. Então du=e^{t}dt e v=-\frac{1}{n}\cos(nt). Assim
J=-\frac{e^{t}}{n}\cos(nt)+\frac{1}{n}\int e^{t}\cos(nt)\,dt =-\frac{e^{t}}{n}\cos(nt)+\frac{1}{n}I.
  • Substitua essa expressão de J em I:
I=\frac{e^{t}}{n}\sin(nt)-\frac{1}{n}\Bigl(-\frac{e^{t}}{n}\cos(nt)+\frac{1}{n}I\Bigr) =\frac{e^{t}}{n}\sin(nt)+\frac{e^{t}}{n^{2}}\cos(nt)-\frac{1}{n^{2}}I.
  • Agrupando os termos em I:
I\Bigl(1+\frac{1}{n^{2}}\Bigr)=e^{t}\Bigl(\frac{\sin(nt)}{n}+\frac{\cos(nt)}{n^{2}}\Bigr).
  • Portanto
I=\frac{e^{t}}{1+n^{2}}\bigl(\cos(nt)+n\sin(nt)\bigr).
(esse é o primitivo geral; pode verificar diferenciando).
  • Agora avaliamos nos limites 0 e \pi:
I_n=\int_{0}^{\pi}e^{t}\cos(nt)\,dt =\left[\frac{e^{t}}{1+n^{2}}\bigl(\cos(nt)+n\sin(nt)\bigr)\right]_{0}^{\pi}.
  • Observe que \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n e \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Além disso \cos(0)=1 e \sin(0)=0. Assim
I_n=\frac{1}{1+n^{2}}\Bigl(e^{\pi}\cos(n\pi)-e^{0}\cos(0)\Bigr) =\frac{1}{1+n^{2}}\Bigl(e^{\pi}(-1)^{n}-1\Bigr).

Passo 6

Voltar para a_n e escrever o coeficiente final:
  • Lembrando que a_n=2 I_n, obtemos
a_n=2\cdot\frac{e^{\pi}(-1)^{n}-1}{1+n^{2}} =\frac{2\bigl(e^{\pi}(-1)^{n}-1\bigr)}{1+n^{2}}.
  • E já vimos que b_n=0 para todo n\ge1.

Passo 7

Escrever a série de Fourier completa e comentar:
  • A série de Fourier da extensão 2\pi-periódica de f tem apenas termos de cosseno e é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) = \bigl(e^{\pi}-1\bigr)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(e^{\pi}(-1)^{n}-1\bigr)}{1+n^{2}}\cos(nx).
  • Essa expressão dá a série de Fourier em todo x. Em pontos de descontinuidade (se houvesse) a série converge para a média dos limites laterais; aqui a função é contínua em (-\pi,\pi) exceto possivelmente em 0 dependendo do valor atribuído, mas a fórmula da série é válida como a expansão de Fourier.

Resposta

f(x)\sim e^{\pi}-1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(e^{\pi}(-1)^{n}-1\bigr)}{1+n^{2}}\cos(nx).

Exercícios relacionados