Passo 1
Temos a função dada por
Informações relevantes e o que vamos buscar:
- A função está definida por partes no intervalo
. O valor em ou nos extremos não foi especificado; isso não altera a série de Fourier (apenas o valor pontual). - Observação imediata (peguei isso diretamente da definição acima): para
temos . Logo a função é par em . - Objetivo que vou resolver: obter a série de Fourier (serie de Fourier de período
) da extensão periódica de a partir de . Vou calcular os coeficientes e escrever a série completa.]
Passo 2
Breve explicação didática das fórmulas que usaremos (sem pular etapas):
- A série de Fourier de uma função de período
é
onde os coeficientes são dados por
- Como
é par (isto é, ), o produto é função ímpar. A integral de uma função ímpar em é zero, portanto
- Para funções pares, as integrais simétricas reduzem-se a duas vezes a integral em
. Assim:
Vou aplicar essas fórmulas ao nosso
.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo:
- Para
temos . Então
- Logo
- O termo constante da série (o termo
) é então
Passo 4
Cálculo de
. Montagem da integral e simplificação inicial:
Portanto precisamos calcular a integral
Passo 5
Cálculo de
via integração por partes (mostrar passo a passo):
- Seja
e . - Primeiro, integrar por partes
: tome e . Então e . Assim
- Agora calcular
por partes: tome e . Então e . Assim
- Substitua essa expressão de
em :
- Agrupando os termos em
:
- Portanto
(esse é o primitivo geral; pode verificar diferenciando).
- Agora avaliamos nos limites
e :
- Observe que
para todo inteiro e . Além disso e . Assim
Passo 6
Voltar para
e escrever o coeficiente final:
- Lembrando que
, obtemos
- E já vimos que
para todo .
Passo 7
Escrever a série de Fourier completa e comentar:
- A série de Fourier da extensão
-periódica de tem apenas termos de cosseno e é
- Essa expressão dá a série de Fourier em todo
. Em pontos de descontinuidade (se houvesse) a série converge para a média dos limites laterais; aqui a função é contínua em exceto possivelmente em dependendo do valor atribuído, mas a fórmula da série é válida como a expansão de Fourier.