1. Qual a temperatura u(x, t) de uma barra semi-infinita de seção transversal desprezível, isolada termicamente nas laterais, definida entre x=0 \mathrm{~m} e x=\infty, difusividade térmica c=1 \mathrm{~K} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, se a extremidade esquerda (x=0) é isolada termicamente?
    Considere sua temperatura inicial u(x, 0)=f(x)=e^{-k x}, k>0.
    O problema pode ser enunciado matematicamente como:
\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial t}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ \frac{\partial u(0, t)}{\partial x}=0 \\\ u(x, 0)=f(x) \end{gathered}
Resolva o problema de valor de contorno acima pelo método de Fourier.

Passo 1

O enunciado fornece uma barra semi-infinita em x\in[0,\infty) com as seguintes informações e pede a temperatura u(x,t):
  • Ecuação do calor:
\frac{\partial u}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.
  • Condição na borda esquerda (isolamento térmico):
\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=0\quad\text{para todo }t>0.
  • Condição inicial:
u(x,0)=f(x)=e^{-k x},\qquad k>0,\; x\ge 0.
  • O enunciado informa a difusividade térmica c=1. Portanto podemos tomar c^{2}=1 na equação, mas manterei c nas etapas iniciais e colocarei c=1 no resultado final conforme pedido.
A pergunta é: achar u(x,t) para x\ge0,\\ t>0, obedecendo PDE, condição de Neumann em x=0 e condição inicial dada.

Passo 2

Escolha do método (explicação sucinta do raciocínio): a condição de fronteira é do tipo Neumann ( u_x(0,t)=0), ou seja, derivada normal nula na origem — isso corresponde a isolamento. Uma forma muito prática de resolver é estender a condição inicial de x\ge0 para toda a reta x\in\mathbb{R} de maneira par (even extension). Por que isso funciona? Se eu construir uma função inicial par f_{\text{par}}(x)=f(|x|), então a solução da equação do calor na reta inteira com essa condição inicial será uma função par em x para todo t, e uma função par satisfaz necessariamente u_x(0,t)=0. Assim resolvo o problema semi-infinito pelo problema na reta inteira e depois restrinjo para x\ge0.
Vou, portanto:
  1. Fazer a extensão par de f: f_{\text{par}}(x)=e^{-k|x|}.
  2. Escrever a solução sobre \mathbb{R} como convolução com o núcleo fundamental (heat kernel).
  3. Restringir a solução ao semieixo x\ge0.
  4. Calcular as integrais que aparecem explicitamente (vai aparecer função de erro).

Passo 3

O núcleo fundamental (heat kernel) para a equação
\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}
é
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi D t}}\,\exp\!\Big(-\frac{x^{2}}{4D t}\Big),
onde D=c^{2} é a difusividade. No nosso caso D=c^{2}. A solução na reta inteira com condição inicial f_{\text{par}} é a convolução
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,f_{\text{par}}(y)\,dy.
Como f_{\text{par}}(y)=f(|y|) é par, podemos escrever essa integral como
u(x,t)=\int_{0}^{\infty}\big[G(x-y,t)+G(x+y,t)\big]\,f(y)\,dy,
pois integrar de -\infty a \infty com função par equivale a duas integrais de 0 a \infty com os argumentos positivos e negativos do kernel.

Passo 4

Substituindo f(y)=e^{-k y} e G na expressão acima:
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi c^{2} t}}\int_{0}^{\infty}\Big\{\exp\!\Big(-\frac{(x-y)^{2}}{4c^{2}t}\Big) +\exp\!\Big(-\frac{(x+y)^{2}}{4c^{2}t}\Big)\Big\}\,e^{-k y}\,dy.
Vou calcular separadamente as duas integrais
I_{1}=\int_{0}^{\infty}\exp\!\Big(-\frac{(x-y)^{2}}{4c^{2}t}\Big)e^{-k y}\,dy,
I_{2}=\int_{0}^{\infty}\exp\!\Big(-\frac{(x+y)^{2}}{4c^{2}t}\Big)e^{-k y}\,dy.

Passo 5

Cálculo de I_{1}. Trabalhamos o expoente e completamos o quadrado para integrar uma gaussiana deslocada:
Começamos por escrever o expoente combinado:
-\frac{(x-y)^{2}}{4c^{2}t}-k y = -\frac{1}{4c^{2}t}\big(y^{2}-2xy+x^{2}+4c^{2}t\,k\,y\big).
Dentro do colchete completamos o quadrado. Note que
y^{2}-2xy+4c^{2}t\,k\,y = \big(y-(x-2c^{2}t k)\big)^{2} - (x-2c^{2}t k)^{2}.
Substituindo volta:
-\frac{(x-y)^{2}}{4c^{2}t}-k y = -\frac{\big(y-(x-2c^{2}t k)\big)^{2}}{4c^{2}t} -k x + c^{2}t k^{2}.
Logo
I_{1}=e^{-k x + c^{2}t k^{2}}\int_{0}^{\infty}\exp\!\Big(-\frac{\big(y-(x-2c^{2}t k)\big)^{2}}{4c^{2}t}\Big)\,dy.

Passo 6

Avaliação da integral gaussiana em I_{1} por mudança de variável. Defina
z=\frac{y-(x-2c^{2}t k)}{2c\sqrt{t}}, \qquad dy=2c\sqrt{t}\,dz.
Quando y=0 temos
z_{0}=\frac{0-(x-2c^{2}t k)}{2c\sqrt{t}}=\frac{2c^{2}t k - x}{2c\sqrt{t}}.
Quando y\to\infty, z\to\infty. Assim
\int_{0}^{\infty}\exp\!\Big(-\frac{\big(y-(x-2c^{2}t k)\big)^{2}}{4c^{2}t}\Big)\,dy =2c\sqrt{t}\int_{z_{0}}^{\infty}e^{-z^{2}}\,dz.
Usamos a função complemento do erro:
\operatorname{erfc}(a)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{a}^{\infty}e^{-s^{2}}\,ds.
Então a integral vale
2c\sqrt{t}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfc}(z_{0}) = c\sqrt{\pi t}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2c^{2}t k - x}{2c\sqrt{t}}\Big).
Multiplicando pelo fator externo no núcleo, \dfrac{1}{\sqrt{4\pi c^{2}t}}=\dfrac{1}{2c\sqrt{\pi t}}, obtemos a contribuição de I_{1} para u(x,t):
\frac{1}{2}\,e^{-k x + c^{2}t k^{2}}\, \operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2c^{2}t k - x}{2c\sqrt{t}}\Big).

Passo 7

Cálculo de I_{2}. Fazemos processo análogo. O expoente é
-\frac{(x+y)^{2}}{4c^{2}t}-k y = -\frac{1}{4c^{2}t}\big(y^{2}+2xy+x^{2}+4c^{2}t\,k\,y\big).
Completa-se o quadrado:
y^{2}+2xy+4c^{2}t\,k\,y = \big(y+(x+2c^{2}t k)\big)^{2} - (x+2c^{2}t k)^{2}.
Portanto
-\frac{(x+y)^{2}}{4c^{2}t}-k y = -\frac{\big(y+(x+2c^{2}t k)\big)^{2}}{4c^{2}t} + k x + c^{2}t k^{2}.
Então
I_{2}=e^{k x + c^{2}t k^{2}}\int_{0}^{\infty}\exp\!\Big(-\frac{(y+(x+2c^{2}t k))^{2}}{4c^{2}t}\Big)\,dy.

Passo 8

Avaliação da integral de I_{2} por mudança de variável. Tome
w=\frac{y+(x+2c^{2}t k)}{2c\sqrt{t}},\qquad dy=2c\sqrt{t}\,dw.
Quando y=0,
w_{0}=\frac{x+2c^{2}t k}{2c\sqrt{t}},
e quando y\to\infty, w\to\infty. Portanto
\int_{0}^{\infty}\exp\!\Big(-\frac{(y+(x+2c^{2}t k))^{2}}{4c^{2}t}\Big)\,dy =2c\sqrt{t}\int_{w_{0}}^{\infty}e^{-w^{2}}\,dw = c\sqrt{\pi t}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{x+2c^{2}t k}{2c\sqrt{t}}\Big).
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{\sqrt{4\pi c^{2}t}}=\dfrac{1}{2c\sqrt{\pi t}} do kernel, a contribuição de I_{2} para u é
\frac{1}{2}\,e^{k x + c^{2}t k^{2}}\, \operatorname{erfc}\!\Big(\frac{x+2c^{2}t k}{2c\sqrt{t}}\Big).

Passo 9

Somando as duas contribuições I_{1} e I_{2} obtemos a solução para o problema estendido e, por construção, a solução no semieixo x\ge0 que satisfaz a condição de Neumann:
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{c^{2}t k^{2}}\Bigg[ e^{-k x}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2c^{2}t k - x}{2c\sqrt{t}}\Big) +e^{k x}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{x+2c^{2}t k}{2c\sqrt{t}}\Big) \Bigg].
Aqui siga o sentido físico: cada termo corresponde à contribuição direta e à imagem refletida (devido à condição de Neumann) da inicial exponencial.

Passo 10

Especializando para o caso dado no enunciado: c=1 (difusividade unitária). Substituindo c=1 na expressão acima:
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{t k^{2}}\Big[ e^{-k x}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2 t k - x}{2\sqrt{t}}\Big) +e^{k x}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{x+2 t k}{2\sqrt{t}}\Big) \Big].
Comentário rápido sobre a função erro: \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z), com
\operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-s^{2}}\,ds,\qquad \operatorname{erfc}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{z}^{\infty}e^{-s^{2}}\,ds.
Esse resultado se reduz à condição inicial quando t\to0^{+} (pelo comportamento limite das erfc apropriadas) e satisfaz u_{x}(0,t)=0 por simetria par.

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{2}e^{t k^{2}}\Big[ e^{-k x}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2 t k - x}{2\sqrt{t}}\Big) +e^{k x}\,\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{x+2 t k}{2\sqrt{t}}\Big) \Big].

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