- Qual a temperatura
de uma barra semi-infinita de seção transversal desprezível, isolada termicamente nas laterais, definida entre
e
, difusividade térmica
, se a extremidade esquerda
é isolada termicamente?
Considere sua temperatura inicial
.
O problema pode ser enunciado matematicamente como:
Resolva o problema de valor de contorno acima pelo método de Fourier.
Considere sua temperatura inicial
O problema pode ser enunciado matematicamente como:
Passo 1
O enunciado fornece uma barra semi-infinita em
com as seguintes informações e pede a temperatura
:
- Ecuação do calor:
- Condição na borda esquerda (isolamento térmico):
- Condição inicial:
- O enunciado informa a difusividade térmica
. Portanto podemos tomar na equação, mas manterei nas etapas iniciais e colocarei no resultado final conforme pedido.
A pergunta é: achar
para
, obedecendo PDE, condição de Neumann em
e condição inicial dada.
Passo 2
Escolha do método (explicação sucinta do raciocínio): a condição de fronteira é do tipo Neumann (
), ou seja, derivada normal nula na origem — isso corresponde a isolamento. Uma forma muito prática de resolver é estender a condição inicial de
para toda a reta
de maneira par (even extension). Por que isso funciona? Se eu construir uma função inicial par
, então a solução da equação do calor na reta inteira com essa condição inicial será uma função par em
para todo
, e uma função par satisfaz necessariamente
. Assim resolvo o problema semi-infinito pelo problema na reta inteira e depois restrinjo para
.
Vou, portanto:
- Fazer a extensão par de
: . - Escrever a solução sobre
como convolução com o núcleo fundamental (heat kernel). - Restringir a solução ao semieixo
. - Calcular as integrais que aparecem explicitamente (vai aparecer função de erro).
Passo 3
O núcleo fundamental (heat kernel) para a equação
é
onde
é a difusividade. No nosso caso
. A solução na reta inteira com condição inicial
é a convolução
Como
é par, podemos escrever essa integral como
pois integrar de
a
com função par equivale a duas integrais de
a
com os argumentos positivos e negativos do kernel.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão acima:
Vou calcular separadamente as duas integrais
Passo 5
Cálculo de
. Trabalhamos o expoente e completamos o quadrado para integrar uma gaussiana deslocada:
Começamos por escrever o expoente combinado:
Dentro do colchete completamos o quadrado. Note que
Substituindo volta:
Logo
Passo 6
Avaliação da integral gaussiana em
por mudança de variável. Defina
Quando
temos
Quando
,
. Assim
Usamos a função complemento do erro:
Então a integral vale
Multiplicando pelo fator externo no núcleo,
, obtemos a contribuição de
para
:
Passo 7
Cálculo de
. Fazemos processo análogo. O expoente é
Completa-se o quadrado:
Portanto
Então
Passo 8
Avaliação da integral de
por mudança de variável. Tome
Quando
,
e quando
,
. Portanto
Multiplicando pelo fator
do kernel, a contribuição de
para
é
Passo 9
Somando as duas contribuições
e
obtemos a solução para o problema estendido e, por construção, a solução no semieixo
que satisfaz a condição de Neumann:
Aqui siga o sentido físico: cada termo corresponde à contribuição direta e à imagem refletida (devido à condição de Neumann) da inicial exponencial.
Passo 10
Especializando para o caso dado no enunciado:
(difusividade unitária). Substituindo
na expressão acima:
Comentário rápido sobre a função erro:
, com
Esse resultado se reduz à condição inicial quando
(pelo comportamento limite das erfc apropriadas) e satisfaz
por simetria par.