Fluido entra em um duto (liso) adiabático, de área constante e 0.1641 ft de diâmetro, a velocidade de
e
. O número de Mach na saída é 0,3 . Se
e
, determinar (15p):
A) vazão em massa,
B) força de atrito,
C) comprimento do duto e o comprimento que falta para alcançar a condição de escoamento bloqueado.
Obs: se necessário, admita a TAB. A-15 válida para este caso.
A) vazão em massa,
B) força de atrito,
C) comprimento do duto e o comprimento que falta para alcançar a condição de escoamento bloqueado.
Obs: se necessário, admita a TAB. A-15 válida para este caso.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
- Diâmetro do duto:
. - Duto liso, adiabático, área constante.
- Velocidade na entrada:
. - Temperatura na entrada:
. - Pressão na entrada:
. - Número de Mach na saída:
. - Calores específicos fornecidos:
e .
Observações / conversões óbvias a fazer (já apontadas aqui apenas como informação útil):
-
em equivale a . Vou trabalhar em SI (metros, segundos, pascal). - O enunciado pede:
(A) vazão mássica;
(B) força de atrito total no duto (força que a parede exerce sobre o fluido, magnitude);
(C) comprimento do duto (o comprimento necessário até a seção onde) e o comprimento que falta para atingir escoamento “bloqueado” (isto é, condição de choke onde no caso Fanno).
Nada do que está acima foi usado ainda para calcular; agora começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Determinar constantes termodinâmicas do gás a partir de
e
, com cuidados de unidade.
- Converter
: . - Já foi dado
.
Calcular a constante dos gases
e a razão de calores específicos
:
Explicação curta (para lembrar na prova): a relação
vem da primeira lei aplicada a um gás ideal;
é importante porque entra nas fórmulas da acústica (velocidade do som) e nas relações de Fanno.
Passo 3
Converter dimensões e calcular a área do duto; passar velocidade para
.
- Converter diâmetro de pés para metros:
- Área da seção circular:
- Converter velocidade:
Passo 4
Calcular a densidade na entrada
(lei dos gases ideais) e, a partir dela, a vazão mássica
(resposta A).
Lei dos gases ideais (explicarei): para gás ideal,
Usando
e
,
Vazão mássica:
Interpretação prática: na prova, calcule a área, calcule
pela equação dos gases ideais e multiplique por
e
. Resultado (com arredondamento útil):
.
Passo 5
Determinar o número de Mach na entrada
(auxiliar) e as temperaturas e velocidades na saída usando relações Fanno (escoamento adiabático com atrito em duto de área constante).
Primeiro, velocidade do som local:
Na entrada,
Logo
Explicação curta sobre Fanno: em duto adiabático com atrito (escoamento Fanno), a temperatura total (estagnation temperature) permanece constante (sem troca de calor), mas a pressão de estagnação cai; as relações do Fanno dão como
varia com a distância. Usamos aqui a propriedade útil de que
é constante:
Calcular
usando o ponto 1:
Com
e
,
Agora, obtém-se a temperatura local na saída
conhecendo
(dado):
Velocidade do som e velocidade na saída:
Passo 6
Encontrar densidade e pressão na saída usando continuidade e a equação dos gases (essas relações são diretas e fáceis de aplicar na prova).
Continuidade (vazão mássica constante):
Pressão na saída pela equação dos gases:
Observação didática: não se tentou obter
por isentropia — isso seria errado porque há atrito. O correto é usar continuidade para
e então a equação dos gases.
Passo 7
Calcular a força de atrito (resposta B) a partir do balanço de momento linear.
Considere o volume de controle entre entrada e saída. Somando forças na direção do escoamento (sentido descendente):
- Força das pressões nas extremidades:
. - Força da parede por atrito (no sentido oposto ao escoamento):
.
Balanço de momento (estado estacionário, velocidade uniforme nas seções):
Isolando
(força de atrito, tomo magnitude positiva):
Substituindo números:
Logo
Interpretação: a parede exerce sobre o fluido uma força de aproximadamente
oposta ao movimento.
Passo 8
Determinar o comprimento do duto necessário para que o número de Mach mude de
para
usando a relação de Fanno — esta é a abordagem correta para duto adiabático com atrito.
Relação de Fanno (função
, muito usada em provas):
Para fluxo entre duas seções com mesma área:
onde
é o fator de atrito de Darcy (adiabático, fluxo compressível) e
é o diâmetro.
Calcular
e
com
,
,
:
- Avaliando numericamente (mostro os termos):
Portanto
Isto implica
Explicação: aqui obtivemos o produto
. Para obter
é necessário estimar o fator de atrito
(prática comum em problemas de dutos: primeiro obtém-se
via Fanno, depois calcula-se
por correlação).
Passo 9
Estimativa do fator de atrito
e cálculo do comprimento
. (aqui há uma aproximação prática: precisamos de
ou de uma tabela — vou usar a TAB A-15 / lei de Sutherland para estimar
, como permitido no enunciado).
- Estimar viscosidade dinâmica
do gás: assumo (conforme indicação do enunciado: “se necessário, admita a TAB. A-15”) propriedades similares às do ar para cálculo aproximado de . Uso a lei de Sutherland com constantes padrão para ar ( a e ). Tomarei temperatura média do duto como
Aplicando Sutherland:
- Número de Reynolds (usando valores médios):
- Escolha da correlação de atrito: para tubo liso em regime turbulento, uma estimativa prática explícita é a fórmula de Blasius (aprox. para tubos lisos / turbulência plenamente desenvolvida)
Com
,
(Obs.: outras correlações para escoamento turbulento liso dão número similar; estou usando esta forma prática para avaliar
.)
- Agora calcular
a partir de :
Comentário didático: na prova é aceitável explicar que se usa uma correlação para
(Blasius, Colebrook implicita, etc.). A incerteza principal vem daí; usar a TAB A-15/leis de viscosidade é o procedimento padrão.
Passo 10
Calcular o comprimento até bloqueio (condição de choke,
) e quanto falta para atingir o choke a partir da seção atual.
Para chegar ao choque (Mach 1) a partir de
a relação Fanno dá:
Mas
(teste direto da expressão), logo
Portanto
Com
,
Comprimento que falta (a partir da seção onde
) para atingir choke:
Comentário: os valores acima dependem da escolha de
. Se usar outra correlação implícita (Colebrook com rugosidade nula) o
fica próximo e os comprimentos mudam pouco. A metodologia (usar Fanno para obter
e uma correlação para
) é o essencial para a prova.