Fluido entra em um duto (liso) adiabático, de área constante e 0.1641 ft de diâmetro, a velocidade de 5,1 \mathrm{~km} / \mathrm{min}, T_{1}=450 \mathrm{~K} e p_{1}=220 \mathrm{kPa}. O número de Mach na saída é 0,3 . Se C_{p}=0,846 \mathrm{kNm} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}) e C_{v}=650,76 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}), determinar (15p):
A) vazão em massa,
B) força de atrito,
C) comprimento do duto e o comprimento que falta para alcançar a condição de escoamento bloqueado.
Obs: se necessário, admita a TAB. A-15 válida para este caso.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do duto: d=0{,}1641\\ \mathrm{ft}.
  • Duto liso, adiabático, área constante.
  • Velocidade na entrada: V_1=5{,}1\\ \mathrm{km/min}.
  • Temperatura na entrada: T_1=450\\ \mathrm{K}.
  • Pressão na entrada: p_1=220\\ \mathrm{kPa}.
  • Número de Mach na saída: M_2=0{,}3.
  • Calores específicos fornecidos: C_p=0{,}846\\ \mathrm{kNm/(kg\\ K)} e C_v=650{,}76\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
Observações / conversões óbvias a fazer (já apontadas aqui apenas como informação útil):
  • C_p em \mathrm{kNm/(kg\\ K)} equivale a \mathrm{kJ/(kg\\ K)}. Vou trabalhar em SI (metros, segundos, pascal).
  • O enunciado pede:
    (A) vazão mássica \dot m;
    (B) força de atrito total no duto (força que a parede exerce sobre o fluido, magnitude);
    (C) comprimento do duto (o comprimento necessário até a seção onde M=0{,}3) e o comprimento que falta para atingir escoamento “bloqueado” (isto é, condição de choke onde M\to1 no caso Fanno).
Nada do que está acima foi usado ainda para calcular; agora começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Determinar constantes termodinâmicas do gás a partir de C_p e C_v, com cuidados de unidade.
  • Converter C_p: C_p=0{,}846\\ \mathrm{kNm/(kg\\ K)}=0{,}846\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}=846\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
  • Já foi dado C_v=650{,}76\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
Calcular a constante dos gases R e a razão de calores específicos \gamma:
R = C_p - C_v = 846 - 650{,}76 = 195{,}24\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{846}{650{,}76}\approx 1{,}3003.
Explicação curta (para lembrar na prova): a relação R=C_p-C_v vem da primeira lei aplicada a um gás ideal; \gamma é importante porque entra nas fórmulas da acústica (velocidade do som) e nas relações de Fanno.

Passo 3

Converter dimensões e calcular a área do duto; passar velocidade para \mathrm{m/s}.
  • Converter diâmetro de pés para metros:
d = 0{,}1641\\ \mathrm{ft}\times 0{,}3048\\ \mathrm{m/ft}=0{,}05002\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção circular:
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05002)^2}{4} \approx 0{,}0019639\\ \mathrm{m^2}.
  • Converter velocidade:
V_1 = 5{,}1\\ \mathrm{km/min} = \frac{5100\\ \mathrm{m}}{60\\ \mathrm{s}} = 85{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a densidade na entrada \rho_1 (lei dos gases ideais) e, a partir dela, a vazão mássica \dot m (resposta A).
Lei dos gases ideais (explicarei): para gás ideal,
p = \rho R T \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{p}{R T}.
Usando p_1=220\\ \mathrm{kPa}=220000\\ \mathrm{Pa} e T_1=450\\ \mathrm{K},
\rho_1 = \frac{220000}{195{,}24\times 450} \approx 2{,}503\\ \mathrm{kg/m^3}.
Vazão mássica:
\dot m = \rho_1 A V_1 = 2{,}503\times 0{,}0019639\times 85{,}0 \approx 0{,}4179\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação prática: na prova, calcule a área, calcule \rho pela equação dos gases ideais e multiplique por V e A. Resultado (com arredondamento útil): \dot m\approx 0{,}418\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Determinar o número de Mach na entrada M_1 (auxiliar) e as temperaturas e velocidades na saída usando relações Fanno (escoamento adiabático com atrito em duto de área constante).
Primeiro, velocidade do som local:
a = \sqrt{\gamma R T}.
Na entrada,
a_1 = \sqrt{1{,}3003 \times 195{,}24 \times 450}\approx 337{,}98\\ \mathrm{m/s}.
Logo
M_1 = \frac{V_1}{a_1} = \frac{85{,}0}{337{,}98}\approx 0{,}2514.
Explicação curta sobre Fanno: em duto adiabático com atrito (escoamento Fanno), a temperatura total (estagnation temperature) permanece constante (sem troca de calor), mas a pressão de estagnação cai; as relações do Fanno dão como M varia com a distância. Usamos aqui a propriedade útil de que T_0 é constante:
T_0 = T\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\\ \text{constante ao longo do duto.}
Calcular T_0 usando o ponto 1:
T_0 = T_1\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2\right).
Com \frac{\gamma-1}{2}\approx 0{,}15015 e M_1^2\approx 0{,}0632,
T_0 \approx 450\left(1+0{,}15015\times 0{,}0632\right)\approx 454{,}27\\ \mathrm{K}.
Agora, obtém-se a temperatura local na saída T_2 conhecendo M_2 (dado):
T_2 = \frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M_2^2} = \frac{454{,}27}{1+0{,}15015\times 0{,}09}\approx 448{,}24\\ \mathrm{K}.
Velocidade do som e velocidade na saída:
a_2 = \sqrt{\gamma R T_2}\approx 337{,}43\\ \mathrm{m/s}, \qquad V_2 = M_2 a_2 = 0{,}3\times 337{,}43 \approx 101{,}23\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Encontrar densidade e pressão na saída usando continuidade e a equação dos gases (essas relações são diretas e fáceis de aplicar na prova).
Continuidade (vazão mássica constante):
\rho_2 = \frac{\dot m}{A V_2} = \frac{0{,}4179}{0{,}0019639\times 101{,}23}\approx 2{,}1019\\ \mathrm{kg/m^3}.
Pressão na saída pela equação dos gases:
p_2 = \rho_2 R T_2 \approx 2{,}1019\times 195{,}24\times 448{,}24 \approx 183980\\ \mathrm{Pa}=183{,}98\\ \mathrm{kPa}.
Observação didática: não se tentou obter p_2 por isentropia — isso seria errado porque há atrito. O correto é usar continuidade para \rho_2 e então a equação dos gases.

Passo 7

Calcular a força de atrito (resposta B) a partir do balanço de momento linear.
Considere o volume de controle entre entrada e saída. Somando forças na direção do escoamento (sentido descendente):
  • Força das pressões nas extremidades: F_p = p_1 A - p_2 A.
  • Força da parede por atrito (no sentido oposto ao escoamento): -F_w.
    Balanço de momento (estado estacionário, velocidade uniforme nas seções):
p_1 A - p_2 A - F_w = \dot m (V_2 - V_1).
Isolando F_w (força de atrito, tomo magnitude positiva):
F_w = p_1 A - p_2 A - \dot m (V_2 - V_1).
Substituindo números:
p_1 A = 220000\times 0{,}0019639 \approx 432{,}06\\ \mathrm{N},
p_2 A = 183980\times 0{,}0019639 \approx 361{,}24\\ \mathrm{N},
\dot m (V_2 - V_1) = 0{,}4179\times (101{,}23-85{,}0)\approx 6{,}78\\ \mathrm{N}.
Logo
F_w \approx 432{,}06 - 361{,}24 - 6{,}78 \approx 64{,}04\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a parede exerce sobre o fluido uma força de aproximadamente 64{,}0\\ \mathrm{N} oposta ao movimento.

Passo 8

Determinar o comprimento do duto necessário para que o número de Mach mude de M_1 para M_2 usando a relação de Fanno — esta é a abordagem correta para duto adiabático com atrito.
Relação de Fanno (função g(M), muito usada em provas):
g(M) \equiv \frac{1-M^2}{\gamma M^2} + \frac{\gamma+1}{2\gamma}\ln\!\left(\frac{(\gamma+1)M^2}{2+(\gamma-1)M^2}\right).
Para fluxo entre duas seções com mesma área:
\frac{4 f L}{D} = g(M_1) - g(M_2),
onde f é o fator de atrito de Darcy (adiabático, fluxo compressível) e D é o diâmetro.
Calcular g(M_1) e g(M_2) com \gamma=1{,}3003, M_1\approx 0{,}2514, M_2=0{,}3:
  • Avaliando numericamente (mostro os termos): g(M_1)\approx 9{,}107,\qquad g(M_2)\approx 5{,}759.
Portanto
\frac{4 f L}{D} = g(M_1)-g(M_2)\approx 3{,}348.
Isto implica
\frac{f L}{D} \approx \frac{3{,}348}{4} = 0{,}8370.
Explicação: aqui obtivemos o produto fL/D. Para obter L é necessário estimar o fator de atrito f (prática comum em problemas de dutos: primeiro obtém-se fL/D via Fanno, depois calcula-se f por correlação).

Passo 9

Estimativa do fator de atrito f e cálculo do comprimento L. (aqui há uma aproximação prática: precisamos de \mu ou de uma tabela — vou usar a TAB A-15 / lei de Sutherland para estimar \mu, como permitido no enunciado).
  1. Estimar viscosidade dinâmica \mu do gás: assumo (conforme indicação do enunciado: “se necessário, admita a TAB. A-15”) propriedades similares às do ar para cálculo aproximado de \mu. Uso a lei de Sutherland com constantes padrão para ar ( \mu_0=1{,}716\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} a T_0=273\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}). Tomarei temperatura média do duto como
T_{\text{m}}=\frac{T_1+T_2}{2}\approx\frac{450+448{,}24}{2}=449{,}12\\ \mathrm{K}.
Aplicando Sutherland:
\mu = \mu_0\left(\frac{T_{\text{m}}}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T_{\text{m}}+S} \approx 2{,}48\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  1. Número de Reynolds (usando valores médios):
\rho_{\text{m}} \approx \frac{\rho_1+\rho_2}{2}\approx 2{,}302\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad V_{\text{m}} \approx \frac{V_1+V_2}{2}\approx 93{,}12\\ \mathrm{m/s}.
\mathrm{Re} = \frac{\rho_{\text{m}} V_{\text{m}} d}{\mu} \approx \frac{2{,}302\times 93{,}12\times 0{,}05002}{2{,}48\times 10^{-5}} \approx 4{,}31\times 10^{5}.
  1. Escolha da correlação de atrito: para tubo liso em regime turbulento, uma estimativa prática explícita é a fórmula de Blasius (aprox. para tubos lisos / turbulência plenamente desenvolvida)
f \approx 0{,}3164\\ \mathrm{Re}^{-1/4}.
Com \mathrm{Re}\approx 4{,}31\times 10^{5},
f \approx 0{,}3164\times (4{,}31\times 10^{5})^{-1/4}\approx 0{,}01236.
(Obs.: outras correlações para escoamento turbulento liso dão número similar; estou usando esta forma prática para avaliar f.)
  1. Agora calcular L a partir de \dfrac{f L}{D}\approx 0{,}8370:
L = \frac{0{,}8370}{f}\,D \approx \frac{0{,}8370}{0{,}01236}\times 0{,}05002 \approx 3{,}39\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: na prova é aceitável explicar que se usa uma correlação para f (Blasius, Colebrook implicita, etc.). A incerteza principal vem daí; usar a TAB A-15/leis de viscosidade é o procedimento padrão.

Passo 10

Calcular o comprimento até bloqueio (condição de choke, M\to 1) e quanto falta para atingir o choke a partir da seção atual.
Para chegar ao choque (Mach 1) a partir de M_1 a relação Fanno dá:
\frac{4 f L_{\max}}{D} = g(M_1) - g(1).
Mas g(1)=0 (teste direto da expressão), logo
\frac{4 f L_{\max}}{D} = g(M_1)\approx 9{,}107.
Portanto
\frac{f L_{\max}}{D} \approx \frac{9{,}107}{4} = 2{,}2768.
Com f\approx 0{,}01236,
L_{\max} = \frac{2{,}2768}{f} D \approx \frac{2{,}2768}{0{,}01236}\times 0{,}05002 \approx 9{,}22\\ \mathrm{m}.
Comprimento que falta (a partir da seção onde M=0{,}3) para atingir choke:
L_{\text{falta}} = L_{\max} - L \approx 9{,}22 - 3{,}39 = 5{,}83\\ \mathrm{m}.
Comentário: os valores acima dependem da escolha de f. Se usar outra correlação implícita (Colebrook com rugosidade nula) o f fica próximo e os comprimentos mudam pouco. A metodologia (usar Fanno para obter fL/D e uma correlação para f) é o essencial para a prova.

Resposta

\dot m \approx 0{,}418\\ \mathrm{kg/s}
F_{\text{atrito}} \approx 64{,}0\\ \mathrm{N}
L \approx 3{,}39\\ \mathrm{m}
L_{\text{falta para choke}} \approx 5{,}83\\ \mathrm{m}

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