Sketch the solid whose volume is given by the specified integral.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2}\left(9-x^{2}-y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\bigl(9 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dy\,dx
e pede para esboçar o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função integranda é f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}.
  • A região de integração no plano xy é o retângulo R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le2\}.
  • O volume dado pela integral dupla é, por definição, o volume do sólido formado pelos pontos (x,y,z) tais que (x,y)\in R e 0\le z\le f(x,y),desde que f(x,y)\ge0 em R (vamos verificar isso adiante).

Passo 2

Entendendo o que significa “volume pela integral dupla” (a parte didática).
  • A integral dupla \iint_{R} f(x,y)\,dA representa o volume entre a superfície z=f(x,y) (a “tampa”) e o plano z=0 (a “base”), sobre a região R no plano xy, desde que f(x,y)\ge0 em R.
  • Aqui dA significa uma área infinitesimal no plano xy; escrever \int_{0}^{1}\int_{0}^{2}(\cdots)\,dy\,dx indica que primeiro somamos alturas ao longo de y para cada x, e depois integramos em x.
  • Em termos práticos: cada ponto (x,y) no retângulo R tem uma “altura” f(x,y). O sólido é obtido colocando, sobre cada ponto (x,y) do retângulo, um segmento vertical de z=0 até z=f(x,y); o conjunto desses segmentos forma o sólido cujo volume é a integral.

Passo 3

Verificar se f(x,y)\ge0 em R (para confirmar que o sólido está entre z=0 e z=f(x,y)).
  • Em R tem-se 0\le x^{2}\le1 e 0\le y^{2}\le4, então x^{2}+y^{2}\le 1+4=5.
  • Logo f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}\ge 9-5=4>0.
Portanto f(x,y) é positiva em todo R. Assim o sólido é bem definido como
\{(x,y,z)\mid (x,y)\in R,\\\ 0\le z\le 9-x^{2}-y^{2}\}.

Passo 4

Descrevendo geometricamente as superfícies que limitam o sólido.
  • A “tampa” é a parábola em revolução (paraboloide) dada por z=9-x^{2}-y^{2},que é um paraboloide voltado para baixo com vértice em (0,0,9). Em cortes por planos paralelos ao eixo z obtém-se círculos; em cortes por planos y=\text{const} ou x=\text{const} obtêm-se parábolas voltadas para baixo.
  • A “base” é o retângulo R no plano z=0, com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (1,2,0).
  • Nas bordas do retângulo, as alturas são: z(0,0)=9,\quad z(1,0)=9-1=8,\quad z(0,2)=9-4=5,\quad z(1,2)=9-1-4=4.Esses valores ajudam a posicionar a tampa acima do retângulo ao esboçar.

Passo 5

Como esboçar o sólido (passo-a-passo prático para a prova — sem pular etapas).
  1. Desenhe um sistema de eixos com o plano xy horizontal e z vertical. Marque no plano xy o retângulo R com cantos em (0,0), (1,0), (0,2), (1,2).
  2. Em (0,0) desenhe um ponto alto para a tampa em z=9. Em (1,0) marque a altura z=8. Em (0,2) marque z=5. Em (1,2) marque z=4.
  3. Ligue suavemente essas alturas por uma superfície curva que sobe até o vértice em (0,0,9) e desce de forma circular em torno do eixo z; a superfície tem curvatura do tipo z=9-x^{2}-y^{2} (paraboloide invertido).
  4. Para dar ideia de forma, desenhe curvas de nível (contornos) no plano xy: para valores de z constantes z=c as curvas são círculos x^{2}+y^{2}=9-c. No retângulo verás arco de círculo recortado.
  5. Sombream a região entre o plano z=0 e a superfície para indicar o sólido. Opcionalmente, desenhe algumas retas verticais em pontos do retângulo indicando as alturas 0 a 9-x^{2}-y^{2}.
Dica: não se preocupe em desenhar o paraboloide inteiro — basta desenhar a porção sobre o retângulo R, com os pontos de altura anotados para dar escala.

Passo 6

Cálculo do volume (passo-a-passo calculacional, porque costuma ser pedido além do esboço).
  1. Integramos em y primeiro:
\int_{0}^{2}\bigl(9-x^{2}-y^{2}\bigr)\,dy = \bigl[9y - x^{2}y - \tfrac{1}{3}y^{3}\bigr]_{0}^{2}.
  1. Avaliando em y=2 e y=0:
9\cdot2 - x^{2}\cdot2 - \tfrac{1}{3}\cdot 2^{3} = 18 - 2x^{2} - \tfrac{8}{3} = \tfrac{54}{3} - \tfrac{8}{3} - 2x^{2} = \tfrac{46}{3} - 2x^{2}.
  1. Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{46}{3} - 2x^{2}\Bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{46}{3}x - \tfrac{2}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{46}{3} - \tfrac{2}{3} = \tfrac{44}{3}.
Portanto o volume do sólido é \tfrac{44}{3}.

Resposta

O sólido é a porção sob o paraboloide z=9-x^{2}-y^{2} sobre o retângulo 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le2 (isto é, \{(x,y,z)\mid (x,y)\in R,\\\ 0\le z\le9-x^{2}-y^{2}\}).
Volume =\dfrac{44}{3}.

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