Sketch the solid whose volume is given by the specified integral.
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
e pede para esboçar o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função integranda é
. - A região de integração no plano
é o retângulo - O volume dado pela integral dupla é, por definição, o volume do sólido formado pelos pontos
tais que e desde que em (vamos verificar isso adiante).
Passo 2
Entendendo o que significa “volume pela integral dupla” (a parte didática).
- A integral dupla
representa o volume entre a superfície (a “tampa”) e o plano (a “base”), sobre a região no plano , desde que em . - Aqui
significa uma área infinitesimal no plano ; escrever indica que primeiro somamos alturas ao longo de para cada , e depois integramos em . - Em termos práticos: cada ponto
no retângulo tem uma “altura” . O sólido é obtido colocando, sobre cada ponto do retângulo, um segmento vertical de até ; o conjunto desses segmentos forma o sólido cujo volume é a integral.
Passo 3
Verificar se
em
(para confirmar que o sólido está entre
e
).
- Em
tem-se e , então - Logo
Portanto
é positiva em todo
. Assim o sólido é bem definido como
Passo 4
Descrevendo geometricamente as superfícies que limitam o sólido.
- A “tampa” é a parábola em revolução (paraboloide) dada por
que é um paraboloide voltado para baixo com vértice em . Em cortes por planos paralelos ao eixo obtém-se círculos; em cortes por planos ou obtêm-se parábolas voltadas para baixo. - A “base” é o retângulo
no plano , com vértices , , , . - Nas bordas do retângulo, as alturas são:
Esses valores ajudam a posicionar a tampa acima do retângulo ao esboçar.
Passo 5
Como esboçar o sólido (passo-a-passo prático para a prova — sem pular etapas).
- Desenhe um sistema de eixos com o plano
horizontal e vertical. Marque no plano o retângulo com cantos em , , , . - Em
desenhe um ponto alto para a tampa em . Em marque a altura . Em marque . Em marque . - Ligue suavemente essas alturas por uma superfície curva que sobe até o vértice em
e desce de forma circular em torno do eixo ; a superfície tem curvatura do tipo (paraboloide invertido). - Para dar ideia de forma, desenhe curvas de nível (contornos) no plano
: para valores de constantes as curvas são círculos . No retângulo verás arco de círculo recortado. - Sombream a região entre o plano
e a superfície para indicar o sólido. Opcionalmente, desenhe algumas retas verticais em pontos do retângulo indicando as alturas a .
Dica: não se preocupe em desenhar o paraboloide inteiro — basta desenhar a porção sobre o retângulo
, com os pontos de altura anotados para dar escala.
Passo 6
Cálculo do volume (passo-a-passo calculacional, porque costuma ser pedido além do esboço).
- Integramos em
primeiro:
- Avaliando em
e :
- Agora integramos em
de a :
Portanto o volume do sólido é
.
Resposta
O sólido é a porção sob o paraboloide
sobre o retângulo
(isto é,
).
Volume .
Volume