Use o método das variações dos parâmetros para encontrar a solução geral das equações abaixo:
y^{\prime \prime}+y=2 \operatorname{sec} x

Passo 1

Enunciado e o que se pede (o que foi dado):
  • A equação diferencial é y^{\prime\prime}+y=2\operatorname{sec} x.
  • O pedido: encontrar a solução geral da equação (solução homogênea + uma particular) — ou seja, determinar y(x) em termos de constantes arbitrárias.
  • Observação importante sobre o domínio (dados do enunciado): a função \operatorname{sec} x está definida apenas onde \cos x\neq 0. Portanto a solução procurada vale em intervalos onde \cos x\neq 0 (por exemplo intervalos do tipo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}) etc.).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
  • A homogênea é y^{\prime\prime}+y=0.
  • Assumir solução do tipo y=e^{rx} leva à equação característica r^{2}+1=0, que tem raízes r=\pm i.
  • Portanto as soluções fundamentais reais são y_{1}(x)=\cos x e y_{2}(x)=\sin x.
  • A solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Apresentar a ideia e a fórmula que vamos usar (variações de parâmetros):
  • Para uma equação linear de segunda ordem na forma
y''+p(x)y'+q(x)y=g(x),
se y_{1},y_{2}\) são duas soluções fundamentais da homogênea, então procura-se uma solução particular da forma \[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar.
  • Impõe-se o sistema auxiliar
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x), \end{cases}
para simplificar os cálculos. Daí obtém-se explicitamente
u_{1}'(x) = -\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x) = \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)},
onde W(x)\] é o Wronskiano das soluções \(y_{1},y_{2},
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
  • Aqui p(x)=0, q(x)=1 e g(x)=2\operatorname{sec} x. As fórmulas acima valem diretamente neste caso.]

Passo 4

Aplicar a fórmula com y_{1}=\cos x e y_{2}=\sin x:
  • Calcular o Wronskiano:
W(x)=\cos x\cdot\cos x - (-\sin x)\cdot\sin x = \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
  • Como W(x)=1, as fórmulas para u_{1}',u_{2}' simplificam-se.

Passo 5

Calcular u_{1}' e u_{2}' e integrar:
  • Usando g(x)=2\operatorname{sec} x,
u_{1}'(x) = -\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)} = -\sin x\cdot 2\operatorname{sec} x = -2\tan x,
u_{2}'(x) = \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)} = \cos x\cdot 2\operatorname{sec} x = 2.
  • Integrar u_{1}' e u_{2}':
u_{1}(x) = \int u_{1}'(x)\,dx = \int -2\tan x\,dx = -2\int \tan x\,dx.
Lembrando que \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|, segue
u_{1}(x) = -2\bigl(-\ln|\cos x|\bigr)=2\ln|\cos x|.
u_{2}(x) = \int u_{2}'(x)\,dx = \int 2\,dx = 2x.
  • (Constantes de integração aqui podem ser absorvidas nas constantes C_{1},C_{2} da solução homogênea, por isso tomamos primitivas sem constante explícita.)

Passo 6

Construir a solução particular e a solução geral:
  • A solução particular é
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)=\bigl(2\ln|\cos x|\bigr)\cos x + (2x)\sin x.
  • Somando à homogênea, a solução geral fica
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 2\cos x\ln|\cos x| + 2x\sin x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Lembrete prático: a solução é válida em intervalos onde \cos x\neq 0, pois \operatorname{sec} x e \ln|\cos x| exigem \cos x\neq 0.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 2\cos x\ln|\cos x| + 2x\sin x

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