Use o método das variações dos parâmetros para encontrar a solução geral das equações abaixo: y^{\prime \prime}+y=2 \operatorname{sec} x
Passo 1
Enunciado e o que se pede (o que foi dado):
A equação diferencial é y^{\prime\prime}+y=2\operatorname{sec} x.
O pedido: encontrar a solução geral da equação (solução homogênea + uma particular) — ou seja, determinar y(x) em termos de constantes arbitrárias.
Observação importante sobre o domínio (dados do enunciado): a função \operatorname{sec} x está definida apenas onde \cos x\neq 0. Portanto a solução procurada vale em intervalos onde \cos x\neq 0 (por exemplo intervalos do tipo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}) etc.).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
A homogênea é y^{\prime\prime}+y=0.
Assumir solução do tipo y=e^{rx} leva à equação característica r^{2}+1=0, que tem raízes r=\pm i.
Portanto as soluções fundamentais reais são y_{1}(x)=\cos x e y_{2}(x)=\sin x.
A solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Apresentar a ideia e a fórmula que vamos usar (variações de parâmetros):
Para uma equação linear de segunda ordem na forma
y''+p(x)y'+q(x)y=g(x),
se y_{1},y_{2}\) são duas soluções fundamentais da homogênea, então procura-se uma solução particular da forma
\[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
(Constantes de integração aqui podem ser absorvidas nas constantes C_{1},C_{2} da solução homogênea, por isso tomamos primitivas sem constante explícita.)
Passo 6
Construir a solução particular e a solução geral:
A solução particular é
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)=\bigl(2\ln|\cos x|\bigr)\cos x + (2x)\sin x.
Somando à homogênea, a solução geral fica
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 2\cos x\ln|\cos x| + 2x\sin x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Lembrete prático: a solução é válida em intervalos onde \cos x\neq 0, pois \operatorname{sec} x e \ln|\cos x| exigem \cos x\neq 0.
Resposta
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 2\cos x\ln|\cos x| + 2x\sin x