Seja a equação de Navier-Stokes para o escoamento laminar incompressível de óleo dentro de um cilindro
onde
é a viscosidade do óleo e
a densidade. A velocidade é, em coordenadas cilíndricas, o campo vetorial
. Calcule
e também
. Calcule, daí,
.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A equação (reduzida) de Navier–Stokes para o escoamento incompressível:
- O campo velocidade em coordenadas cilíndricas é
ou seja, somente a componente na direção
(eixo
) é não nula, e essa componente depende apenas do ângulo
.
O que nos pede:
- Calcular
. - Calcular
. - A partir disso, determinar
. (Aqui, interpretar como a componente radial do campo , i.e. , pois essa é a quantidade que naturalmente aparece nos cálculos abaixo.)
Passo 2
Vou primeiro calcular
. Para isso uso a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo
:
No nosso caso
tem
,
e
. Substituindo:
Portanto
Breve comentário didático:
é a derivada de
em relação a
. Apareceu o fator
porque, em coordenadas cilíndricas, derivadas angulares entram com
.]
Passo 3
Agora calculo
. Temos
Uso a regra do produto vetorial nas bases cilíndricas:
. Logo
Ou seja, o produto vetorial é um campo puramente azimutal (
) com magnitude
.
Passo 4
Calculo então
. Denoto
ou seja
. Aplico a fórmula do rotacional:
Mas
é função apenas de
, logo a derivada em
é zero. Assim
. Conclui-se:
Comentário didático: intuitivamente, o campo
tem dependência angular mas a combinação
é independente de
, por isso o rotacional se anula.]
Passo 5
Agora calculo
. Em vez de usar diretamente a fórmula do Laplaciano vetorial em coordenadas curvilíneas (que é extensa), uso a identidade vetorial útil:
Para
vale
(divergência de um rotacional é sempre zero), logo
Denotemos
(já obtido no Passo 2). Primeiro calculo
. Usando as fórmulas:
Como
depende só de
,
portanto
Agora preciso de
. Denoto
. Para um campo puramente
-direcional
tem-se:
Portanto
Finalmente, lembrando que
,
Comentário didático: apareceram derivadas de ordem superior de
porque a operação
age sobre a dependência angular; os fatores em potências de
vêm da geometria cilíndrica.]
Passo 6
Agora uso a equação dada:
Do Passo 4 o lado esquerdo é
. Do Passo 5 o lado direito é
vezes o vetor acima. Assim
Como
e
, isso implica, componente a componente,
Da segunda igualdade
segue que
(constante) e então
. A condição física de campo velocidade bem definido no cilindro exige que
seja periódica de período
:
. Aplicando isso obtém-se
Logo
, uma constante. Portanto
e
(consistente com as equações acima).
Passo 7
Finalmente, a componente radial do rotacional (o que o enunciado pediu como
, conforme interpretado no Passo 1) era
Como
pela equação de movimento mais as condições de unicidade, obtemos
Também podemos afirmar explicitamente que
é constante.