Seja a equação de Navier-Stokes para o escoamento laminar incompressível de óleo dentro de um cilindro
-\nabla \times(\overrightarrow{\mathbf{v}} \times(\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{v}}))=\frac{\eta}{\rho_{0}} \nabla^{2}(\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{v}})
onde \eta é a viscosidade do óleo e \rho_{0} a densidade. A velocidade é, em coordenadas cilíndricas, o campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{v}}(\rho, \theta, z)=\rho^{2} z^{2} \hat{\rho}+z^{2} \rho^{3} \hat{\theta}. Calcule \nabla \times(\overrightarrow{\mathbf{v}} \times(\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{v}})) e também \nabla^{2}(\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{v}}).

Passo 1

O enunciado dá a equação de Navier–Stokes simplificada
-\nabla \times\big(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})\big)=\frac{\eta}{\rho_{0}}\nabla^{2}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})
e a velocidade em coordenadas cilíndricas (com as componentes nas direções \hat{\rho},\hat{\theta},\hat{z}):
\overrightarrow{\mathbf{v}}(\rho,\theta,z)=\rho^{2} z^{2}\,\hat{\rho}+z^{2}\rho^{3}\,\hat{\theta}+0\cdot\hat{z}.
O problema pede dois cálculos explícitos:
  1. \nabla\times\big(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})\big);
  2. \nabla^{2}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}).
Informações relevantes dadas:
  • As componentes de \overrightarrow{\mathbf{v}} são v_{\rho}=\rho^{2}z^{2}, v_{\theta}=\rho^{3}z^{2}, v_{z}=0.
  • Não há dependência explícita em \theta (campo axisimétrico).
    A resolução começará calculando \nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}, depois \overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}), então o rotacional desse produto; por fim será calculado o laplaciano vetorial de \nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}.

Passo 2

Primeiro: fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo \overrightarrow{A}=A_{\rho}\hat{\rho}+A_{\theta}\hat{\theta}+A_{z}\hat{z} (componentes funções de \rho,\theta,z):
(\nabla\times\overrightarrow{A})_{\rho}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z}}{\partial\theta}-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial z},
(\nabla\times\overrightarrow{A})_{\theta}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial\rho},
(\nabla\times\overrightarrow{A})_{z}=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho A_{\theta})}{\partial\rho}-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\theta}\right).
Vou aplicar essa fórmula ao campo \overrightarrow{\mathbf{v}}. Como os componentes de \overrightarrow{\mathbf{v}} não dependem de \theta, as derivadas em \theta são nulas.
Calculemos derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial v_{\theta}}{\partial z}=\frac{\partial(\rho^{3}z^{2})}{\partial z}=2\rho^{3}z,
\frac{\partial v_{\rho}}{\partial z}=\frac{\partial(\rho^{2}z^{2})}{\partial z}=2\rho^{2}z,
\frac{\partial(\rho v_{\theta})}{\partial\rho}=\frac{\partial(\rho\cdot\rho^{3}z^{2})}{\partial\rho}=\frac{\partial(\rho^{4}z^{2})}{\partial\rho}=4\rho^{3}z^{2}.
Agora usar as componentes da fórmula:
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})_{\rho}=-\frac{\partial v_{\theta}}{\partial z}=-2\rho^{3}z,
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})_{\theta}=\frac{\partial v_{\rho}}{\partial z}=2\rho^{2}z,
(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})_{z}=\frac{1}{\rho}\,4\rho^{3}z^{2}=4\rho^{2}z^{2}.
Portanto
\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=-2\rho^{3}z\,\hat{\rho}+2\rho^{2}z\,\hat{\theta}+4\rho^{2}z^{2}\,\hat{z}.

Passo 3

Próximo: calcular o produto vetorial \overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}). Em qualquer base ortonormal (como \hat{\rho},\hat{\theta},\hat{z}) as componentes do produto vetorial são
(u\times w)_{\rho}=u_{\theta}w_{z}-u_{z}w_{\theta},
(u\times w)_{\theta}=u_{z}w_{\rho}-u_{\rho}w_{z},
(u\times w)_{z}=u_{\rho}w_{\theta}-u_{\theta}w_{\rho}.
Aqui u=\overrightarrow{\mathbf{v}} e w=\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}. Usando os valores encontrados:
  • v_{\rho}=\rho^{2}z^{2}, v_{\theta}=\rho^{3}z^{2}, v_{z}=0.
  • (\nabla\times v)_{\rho}=-2\rho^{3}z, (\nabla\times v)_{\theta}=2\rho^{2}z, (\nabla\times v)_{z}=4\rho^{2}z^{2}.
Calcule cada componente:
(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}))_{\rho} = v_{\theta}(\nabla\times v)_{z}-v_{z}(\nabla\times v)_{\theta} =\rho^{3}z^{2}\cdot 4\rho^{2}z^{2}-0 =4\rho^{5}z^{4},
(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}))_{\theta} = v_{z}(\nabla\times v)_{\rho}-v_{\rho}(\nabla\times v)_{z} =0- \rho^{2}z^{2}\cdot 4\rho^{2}z^{2} =-4\rho^{4}z^{4},
(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}))_{z} = v_{\rho}(\nabla\times v)_{\theta}-v_{\theta}(\nabla\times v)_{\rho} =\rho^{2}z^{2}\cdot 2\rho^{2}z - \rho^{3}z^{2}\cdot(-2\rho^{3}z).
Calcule o último termo com calma:
\rho^{2}z^{2}\cdot 2\rho^{2}z = 2\rho^{4}z^{3}, \qquad \rho^{3}z^{2}\cdot(-2\rho^{3}z) = -2\rho^{6}z^{3},
então o sinal duplo dá soma:
(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}))_{z}=2\rho^{4}z^{3}+2\rho^{6}z^{3}=2\rho^{4}z^{3}(1+\rho^{2}).
Assim
\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}) =4\rho^{5}z^{4}\,\hat{\rho}-4\rho^{4}z^{4}\,\hat{\theta}+2\rho^{4}z^{3}(1+\rho^{2})\,\hat{z}.

Passo 4

Agora calcularemos \nabla\times\big(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})\big). Vou chamar
\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}),
com componentes
A_{\rho}=4\rho^{5}z^{4},\quad A_{\theta}=-4\rho^{4}z^{4},\quad A_{z}=2\rho^{4}z^{3}+2\rho^{6}z^{3}.
Usarei novamente a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (repetida no Passo 2). Como não há dependência em \theta, as derivadas em \theta são zero.
Calcule derivadas necessárias:
\frac{\partial A_{\theta}}{\partial z}=\frac{\partial(-4\rho^{4}z^{4})}{\partial z}=-16\rho^{4}z^{3},
\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}=\frac{\partial(4\rho^{5}z^{4})}{\partial z}=16\rho^{5}z^{3},
\frac{\partial A_{z}}{\partial\rho} =\frac{\partial(2\rho^{4}z^{3}+2\rho^{6}z^{3})}{\partial\rho} =8\rho^{3}z^{3}+12\rho^{5}z^{3}.
Também:
\frac{\partial(\rho A_{\theta})}{\partial\rho} =\frac{\partial(\rho\cdot(-4\rho^{4}z^{4}))}{\partial\rho} =\frac{\partial(-4\rho^{5}z^{4})}{\partial\rho}=-20\rho^{4}z^{4}.
Agora as componentes do rotacional:
(\nabla\times\overrightarrow{A})_{\rho}=-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial z}=-(-16\rho^{4}z^{3})=16\rho^{4}z^{3},
(\nabla\times\overrightarrow{A})_{\theta}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial\rho} =16\rho^{5}z^{3}-(8\rho^{3}z^{3}+12\rho^{5}z^{3}) =4\rho^{5}z^{3}-8\rho^{3}z^{3},
que pode ser fatorado como
(\nabla\times\overrightarrow{A})_{\theta}=4\rho^{3}z^{3}(\rho^{2}-2).
E
(\nabla\times\overrightarrow{A})_{z}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho A_{\theta})}{\partial\rho} =\frac{1}{\rho}(-20\rho^{4}z^{4})=-20\rho^{3}z^{4}.
Portanto
\nabla\times\big(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})\big) =16\rho^{4}z^{3}\,\hat{\rho}+4\rho^{3}z^{3}(\rho^{2}-2)\,\hat{\theta}-20\rho^{3}z^{4}\,\hat{z}.

Passo 5

Agora calcularemos \nabla^{2}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}). Primeiro explicação didática do que é o laplaciano vetorial em coordenadas cilíndricas:
  • A operação laplaciana escalar de uma função f(\rho,\theta,z) em coordenadas cilíndricas é
\nabla^{2}f=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial f}{\partial\rho}\right) +\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial\theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}.
  • Para o laplaciano de um campo vetorial \overrightarrow{A} expresso nas componentes cilíndricas (e para o caso sem dependência em \theta), as componentes do laplaciano vetorial são (fórmula padrão):
(\nabla^{2}\overrightarrow{A})_{\rho}=\nabla^{2}(A_{\rho})-\frac{A_{\rho}}{\rho^{2}},
(\nabla^{2}\overrightarrow{A})_{\theta}=\nabla^{2}(A_{\theta})-\frac{A_{\theta}}{\rho^{2}},
(\nabla^{2}\overrightarrow{A})_{z}=\nabla^{2}(A_{z}),
quando \partial/\partial\theta=0. Ou seja: aplica-se o laplaciano escalar a cada componente e soma-se o termo correção -A_{\rho}/\rho^{2} e -A_{\theta}/\rho^{2} por causa da curvatura da base cilíndrica.
Tomemos \overrightarrow{A}=\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}} já encontrado no Passo 2:
A_{\rho}=-2\rho^{3}z,\quad A_{\theta}=2\rho^{2}z,\quad A_{z}=4\rho^{2}z^{2}.
Calculemos \nabla^{2}(A_{\rho}) com a fórmula escalar (sem termo em \theta):
  1. Para A_{\rho}=-2\rho^{3}z:
\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\rho}=-6\rho^{2}z, \quad \rho\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\rho}=-6\rho^{3}z, \quad \frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\rho}\right)=-18\rho^{2}z.
Dividindo por \rho obtemos a parte radial:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\rho}\right)=-18\rho z.
A segunda derivada em z é
\frac{\partial^{2} A_{\rho}}{\partial z^{2}}=0
pois \partial A_{\rho}/\partial z=-2\rho^{3} e sua derivada em z é zero. Logo
\nabla^{2}(A_{\rho})=-18\rho z.
Aplicando a correção -A_{\rho}/\rho^{2}:
(\nabla^{2}\overrightarrow{A})_{\rho}=\nabla^{2}(A_{\rho})-\frac{A_{\rho}}{\rho^{2}} =-18\rho z-\frac{-2\rho^{3}z}{\rho^{2}}=-18\rho z+2\rho z=-16\rho z.
  1. Para A_{\theta}=2\rho^{2}z:
\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\rho}=4\rho z, \quad \rho\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\rho}=4\rho^{2}z, \quad \frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\rho}\right)=8\rho z.
Dividindo por \rho:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial A_{\theta}}{\partial\rho}\right)=8z.
E \partial^{2}A_{\theta}/\partial z^{2}=0 (pois \partial A_{\theta}/\partial z=2\rho^{2}, constante em z). Assim
\nabla^{2}(A_{\theta})=8z.
Aplicando a correção:
(\nabla^{2}\overrightarrow{A})_{\theta}=8z-\frac{2\rho^{2}z}{\rho^{2}}=8z-2z=6z.
  1. Para A_{z}=4\rho^{2}z^{2}:
\frac{\partial A_{z}}{\partial\rho}=8\rho z^{2}, \quad \rho\frac{\partial A_{z}}{\partial\rho}=8\rho^{2}z^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial A_{z}}{\partial\rho}\right)=16\rho z^{2}.
Dividindo por \rho 16z^{2}. Além disso
\frac{\partial^{2} A_{z}}{\partial z^{2}}=\frac{\partial(8\rho^{2}z)}{\partial z}=8\rho^{2}.
Somando,
\nabla^{2}(A_{z})=16z^{2}+8\rho^{2}.
Como para a componente z não há correção extra, temos
(\nabla^{2}\overrightarrow{A})_{z}=16z^{2}+8\rho^{2}.
Portanto
\nabla^{2}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}) =-16\rho z\,\hat{\rho}+6z\,\hat{\theta}+(16z^{2}+8\rho^{2})\,\hat{z}.

Resposta

\nabla\times\big(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}})\big) =16\rho^{4}z^{3}\,\hat{\rho}+4\rho^{3}z^{3}(\rho^{2}-2)\,\hat{\theta}-20\rho^{3}z^{4}\,\hat{z}.
\nabla^{2}(\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{v}}) =-16\rho z\,\hat{\rho}+6z\,\hat{\theta}+(16z^{2}+8\rho^{2})\,\hat{z}.

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