Seja a equação de Navier-Stokes para o escoamento laminar incompressível de óleo dentro de um cilindro
onde
é a viscosidade do óleo e
a densidade. A velocidade é, em coordenadas cilíndricas, o campo vetorial
. Calcule
e também
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Navier–Stokes simplificada
e a velocidade em coordenadas cilíndricas (com as componentes nas direções
):
O problema pede dois cálculos explícitos:
-
; -
.
Informações relevantes dadas:
- As componentes de
são , , . - Não há dependência explícita em
(campo axisimétrico).
A resolução começará calculando, depois , então o rotacional desse produto; por fim será calculado o laplaciano vetorial de .
Passo 2
Primeiro: fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas para um campo
(componentes funções de
):
Vou aplicar essa fórmula ao campo
. Como os componentes de
não dependem de
, as derivadas em
são nulas.
Calculemos derivadas parciais necessárias:
Agora usar as componentes da fórmula:
Portanto
Passo 3
Próximo: calcular o produto vetorial
. Em qualquer base ortonormal (como
) as componentes do produto vetorial são
Aqui
e
. Usando os valores encontrados:
-
, , . -
, , .
Calcule cada componente:
Calcule o último termo com calma:
então o sinal duplo dá soma:
Assim
Passo 4
Agora calcularemos
. Vou chamar
com componentes
Usarei novamente a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas (repetida no Passo 2). Como não há dependência em
, as derivadas em
são zero.
Calcule derivadas necessárias:
Também:
Agora as componentes do rotacional:
que pode ser fatorado como
E
Portanto
Passo 5
Agora calcularemos
. Primeiro explicação didática do que é o laplaciano vetorial em coordenadas cilíndricas:
- A operação laplaciana escalar de uma função
em coordenadas cilíndricas é
- Para o laplaciano de um campo vetorial
expresso nas componentes cilíndricas (e para o caso sem dependência em ), as componentes do laplaciano vetorial são (fórmula padrão):
quando
. Ou seja: aplica-se o laplaciano escalar a cada componente e soma-se o termo correção
e
por causa da curvatura da base cilíndrica.
Tomemos
já encontrado no Passo 2:
Calculemos
com a fórmula escalar (sem termo em
):
- Para
:
Dividindo por
obtemos a parte radial:
A segunda derivada em
é
pois
e sua derivada em
é zero. Logo
Aplicando a correção
:
- Para
:
Dividindo por
:
E
(pois
, constante em
). Assim
Aplicando a correção:
- Para
:
Dividindo por
dá
. Além disso
Somando,
Como para a componente
não há correção extra, temos
Portanto