Ar escoa em regime permanente através de um tubo longo com velocidade u=50+0,5 x, em que x é a distância ao longo do tubo em metros e \underline{u} é dada em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Devido à transferência de calor para o tubo, a temperatura do ar dentro do tubo é dada pela equação T=(300+10 x)^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a taxa de variação da temperatura das partículas de ar através da seção quando x=1.50 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Velocidade ao longo do tubo: u=50+0,5\,x em unidades de \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Temperatura do ar no tubo: T=(300+10\,x)^\circ\mathrm{C}.
  • Regime permanente (steady) — isto é, não há dependência explícita do tempo nos campos.
  • Pede-se: determinar a taxa de variação da temperatura experimentada pelas partículas de ar ao atravessarem a seção quando x=1,50\\ \mathrm{m}. Em outras palavras, quer-se o derivativo material (taxa temporal seguindo a partícula) \dfrac{D T}{D t} avaliado em x=1,50\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito útil (a fórmula que vamos usar) — derivada material (ou derivada substantiva):
Se T=T(x,t) é a temperatura e uma partícula segue a trajetória x(t) com velocidade dx/dt=u(x), a variação temporal que a partícula sente é a derivada total
\frac{d}{dt}T(x(t),t)=\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{dx}{dt}\,\frac{\partial T}{\partial x}.
Aqui \dfrac{\partial T}{\partial t} é a variação local no ponto (fixo no espaço) e \dfrac{dx}{dt}=u é a velocidade da partícula. A soma é a razão de variação acompanhando a partícula. Em notação usual de mecânica dos fluidos escreve-se
\frac{D T}{D t}=\frac{\partial T}{\partial t}+u\,\frac{\partial T}{\partial x}.

Passo 3

Aplicação ao nosso caso: como o escoamento é em regime permanente, não há variação temporal local, isto é
\frac{\partial T}{\partial t}=0.
Logo
\frac{D T}{D t}=u\,\frac{\partial T}{\partial x}.
Agora calculamos \dfrac{\partial T}{\partial x} a partir de T=(300+10\,x)^\circ\mathrm{C}. Diferenciando em relação a x obtemos
\frac{\partial T}{\partial x}=10\\ \frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{m}}.
(Observação sobre unidades: ^{\circ}\mathrm{C} aqui pode ser tratado como K para variações; 1\\ ^\circ\mathrm{C} de variação = 1\\ \mathrm{K}.)

Passo 4

Calcular a velocidade u na posição pedida x=1,50\\ \mathrm{m}:
u(1,50)=50+0,5\cdot 1,50=50+0,75=50,75\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Agora multiplicamos para obter a derivada material na seção x=1,50\\ \mathrm{m}:
\frac{D T}{D t}\Big|_{x=1,50}=u(1,50)\,\frac{\partial T}{\partial x}=50,75\cdot 10=507,5\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}.
Interpretação rápida: positiva porque a temperatura aumenta com x; uma partícula que se move para maiores x aquece à razão de 507,5\\ ^\circ\mathrm{C} por segundo naquele ponto.

Resposta

507,5\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s}

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