Ar escoa em regime permanente através de um tubo longo com velocidade u=50+0,5 x, em que x é a distância ao longo do tubo em metros e \underline{u} é dada em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Devido à transferência de calor para o tubo, a temperatura do ar dentro do tubo é dada pela equação T=(300+10 x)^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a taxa de variação da temperatura das partículas de ar através da seção quando x=1.50 \mathrm{~m}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Velocidade ao longo do tubo: u=50+0,5\,x em unidades de \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Temperatura do ar no tubo: T=(300+10\,x)^\circ\mathrm{C}.
Regime permanente (steady) — isto é, não há dependência explícita do tempo nos campos.
Pede-se: determinar a taxa de variação da temperatura experimentada pelas partículas de ar ao atravessarem a seção quando x=1,50\\ \mathrm{m}. Em outras palavras, quer-se o derivativo material (taxa temporal seguindo a partícula) \dfrac{D T}{D t} avaliado em x=1,50\\ \mathrm{m}.
Passo 2
Conceito útil (a fórmula que vamos usar) — derivada material (ou derivada substantiva):
Se T=T(x,t) é a temperatura e uma partícula segue a trajetória x(t) com velocidade dx/dt=u(x), a variação temporal que a partícula sente é a derivada total
Aqui \dfrac{\partial T}{\partial t} é a variação local no ponto (fixo no espaço) e \dfrac{dx}{dt}=u é a velocidade da partícula. A soma é a razão de variação acompanhando a partícula. Em notação usual de mecânica dos fluidos escreve-se
Interpretação rápida: positiva porque a temperatura aumenta com x; uma partícula que se move para maiores x aquece à razão de 507,5\\ ^\circ\mathrm{C} por segundo naquele ponto.