Um fluido escoa sobre uma placa com o perfil de velocidades parabólico . Determine a equação do perfil e as tensões de cisalhamento sobre a placa sendo que na superfície livre o atrito com o ar é desprezível.
Passo 1
Beleza, a questão diz que um fluido escorre sobre uma placa com perfil de velocidades parabólico
Ela quer que a gente ache como esse perfil fica definido (ou seja, determine , e ) e também calcule as tensões de cisalhamento na placa.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (perfil de velocidades e tensão de cisalhamento).
O que vamos usar:
1) Condições de contorno (no-slip na placa, zero de cisalhamento na superfície livre e valor da velocidade na superfície).
2) Relação tensão-de-forma τ(y)=μ du/dy.
3) Cálculo de derivadas e solução de sistema de equações simples.
Passo 2
Definimos uma espessura de película (distância da placa até a superfície livre) e chamamos de a velocidade lá em cima, em .
As condições de contorno são:
No-slip na placa (y=0):
2. Velocidade na superfície livre (y=δ):
Cisalhamento zero na superfície (atrito com o ar desprezível) significa
Passo 3
Calcula a derivada:
dudy=2a,y + b
Da condição 2a,de vem
Passo 4
Agora voltamos em a,de:
b = -2a,de
E daí
E já temos .
Passo 5
Substituindo boxedu(y)=a,y^2 + b,y = -Usde, e no perfil original, chega-se a:
Passo 6
Agora a tensão de cisalhamento local é
tau(y)=mu,dudy =mul(2a,y + br) =mu(2l(-tfracUsde
Em particular, na placa (boxedtauw=tau(0)=2,mu,Usde), a tensão de cisalhamento na parede é