Um fluido escoa por um tubo horizontal com uma velocidade de
. Em um ponto, o tubo sofre uma redução de diâmetro, e a velocidade dobra. Determine a diferença de pressão entre os dois pontos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluido escoando por um tubo horizontal com uma velocidade inicial de
. Em um ponto, o diâmetro do tubo diminui e, com isso, a velocidade do fluido dobra, chegando a
. O que precisamos descobrir é qual é a diferença de pressão entre esses dois pontos.
Para resolver isso, vamos usar duas ideias principais da física dos fluidos:
- Equação de Continuidade: que nos ajuda a entender como a velocidade e a área do tubo estão relacionadas.
- Equação de Bernoulli: que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes do fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Equação de Continuidade. Essa equação nos diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal do tubo pela velocidade do fluido permanece constante ao longo do tubo.
Matematicamente, é expressa como:
Onde:
-
e são as áreas das seções transversais nos pontos 1 e 2. -
e são as velocidades do fluido nesses pontos.
Sabendo que a velocidade dobra (
), podemos ver que a área
deve ser menor que
para manter a equação balanceada. Mas, como já temos as velocidades, podemos seguir para a próxima etapa sem precisar calcular as áreas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli. Essa equação é uma forma de conservação de energia para fluídos em movimento e, para um tubo horizontal onde a altura não muda, fica assim:
Onde:
-
e são as pressões nos pontos 1 e 2. -
é a densidade do fluido. -
e são as velocidades do fluido nos pontos 1 e 2.
Passo 4
Queremos encontrar a diferença de pressão
. Vamos reorganizar a Equação de Bernoulli para isolar
:
Sabemos que
, então vamos substituir isso na equação:
Resposta
A diferença de pressão entre os dois pontos é
. Se substituirmos
, a expressão fica:
Então, a diferença de pressão é
, onde
é a densidade do fluido.