Um fluido escoa em uma tubulação de 6 in de diâmetro interno que está colocada a 8 m de altura, onde a pressão barométrica é 101,325 \mathrm{kPa}. As condições de operação do fluido são: massa específica =950,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, vazão volumétrica =41,2 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min} e pressão manométrica =400 \mathrm{kPa}. Calcule para o fluido:
a) O fluxo em massa e a velocidade de escoamento ( 1,5 pt.)
b) as taxas de energia: cinética e de pressão (em watts); ( \mathbf{1 , 0} pt.)
\(\mathbf{1}\) in \(=\mathbf{2 , 5 4 0 0 0 0} \times \mathbf{1 0}^{-2} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{ft}=3,048000 \times 10^{-1} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{lb}=4,535924 \times 10^{-1} \mathrm{~kg}\);
\(1 \mathrm{btu}=1,055056 \times 10^{3} \mathrm{~J} ;\)
\(1 \mathrm{cal}=4,186800 \mathrm{~J}\);
\(1 \mathrm{dia}=24 \mathrm{~h} ; 1 \mathrm{~h}=60 \mathrm{~min} ; 1 \mathrm{~min}=60 \mathrm{~s} ;\)
\(1 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}=1 \mathrm{psi}\)
\(1 \mathrm{~atm}=1,013250 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{bar}=1,000000 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{psi}=6,894757 \mathrm{kPa}\);
\(1 \mathrm{lbmol}=453,59 \mathrm{~mol}\);
\(\Delta^{\circ} \mathrm{F}=\Delta \mathrm{K} / 1,8\)
\(\mathbf{T}\left({ }^{\circ} \mathbf{F}\right)=\mathbf{1 , 8} \mathbf{T}^{\prime}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right)+\mathbf{3 2}\)

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Diâmetro interno da tubulação: d=6\\ \mathrm{in}.
  • Altura da tubulação: 8\\ \mathrm{m} (não será necessária para os itens pedidos, mas está no enunciado).
  • Pressão barométrica (atmosférica) no local: p_{\mathrm{atm}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Massa específica (densidade) do fluido: \rho=950{,}0\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Vazão volumétrica: Q=41{,}2\\ \mathrm{ft^{3}/min}.
  • Pressão manométrica (gauge): p_{\mathrm{gauge}}=400\\ \mathrm{kPa}.
O enunciado pede:
(a) o fluxo em massa ( \dot m) e a velocidade de escoamento ( v);
(b) as taxas de energia: cinética e de pressão (ambas em watts).

Passo 2

Vou passar todas as unidades ao SI e calcular a área da seção transversal da tubulação e a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s}.
Conversões e cálculos:
  • Converter o diâmetro de polegadas para metros usando 1\\ \mathrm{in}=2{,}5400\times10^{-2}\\ \mathrm{m}:
d = 6\\ \mathrm{in} = 6\cdot 2{,}5400\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}1524\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção circular:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
Vou deixar a expressão numérica e depois calcular:
d^{2}=(0{,}1524)^{2}=0{,}02322576\\ \mathrm{m^{2}},
A=\frac{\pi\cdot 0{,}02322576}{4}\approx 0{,}01824\\ \mathrm{m^{2}}.
(Arredondei a área a cinco dígitos significativos para manter precisão.)
  • Converter a vazão volumétrica Q de \mathrm{ft^{3}/min} para \mathrm{m^{3}/s}. Uso 1\\ \mathrm{ft}=3{,}048000\times10^{-1}\\ \mathrm{m}, portanto
1\\ \mathrm{ft^{3}}=(0{,}3048)^{3}=0{,}028316846592\\ \mathrm{m^{3}}.
Logo
Q = 41{,}2\\ \mathrm{ft^{3}/min} = 41{,}2\cdot 0{,}028316846592\\ \mathrm{m^{3}/min}.
Calculo em minutos e depois passo para segundos:
Q = 1{,}16665407959\\ \mathrm{m^{3}/min} = \frac{1{,}16665407959}{60}\\ \mathrm{m^{3}/s}
Q \approx 0{,}01944423466\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Resumo nesta etapa: d=0{,}1524\\ \mathrm{m}, A\approx0{,}01824\\ \mathrm{m^{2}}, Q\approx0{,}01944423466\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Calcular fluxo em massa \dot m e velocidade v.
Fórmulas que vou usar (explico cada termo):
  • Fluxo de massa: \dot m=\rho\,Q, onde \dot m é massa por unidade de tempo ( \mathrm{kg/s}), \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^{3}}) e Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s}).
  • Velocidade média no tubo: v=\dfrac{Q}{A}, onde A é a área da seção transversal ( \mathrm{m^{2}}).
Cálculos:
\dot m = \rho Q = 950{,}0\cdot 0{,}01944423466\\ \mathrm{kg/s}
\dot m \approx 18{,}47202293\\ \mathrm{kg/s}\approx 18{,}47\\ \mathrm{kg/s}.
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}01944423466}{0{,}01824}\\ \mathrm{m/s}
v\approx 1{,}066\\ \mathrm{m/s}.
Breve comentário didático: multiplicar densidade pela vazão volumétrica dá a quantidade de massa que sai por segundo; dividir a vazão volumétrica pela área dá a velocidade média porque Q é o volume que atravessa a seção por segundo e A\cdot v também é volume por segundo.

Passo 4

Calcular a taxa de energia cinética (potência cinética associada ao escoamento).
Fórmula e explicação:
  • A taxa de energia cinética transportada pelo fluxo é
\dot E_{\mathrm{cin}}=\tfrac{1}{2}\,\dot m\,v^{2},
onde \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}) e v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}). A unidade resultante é joule por segundo, ou watts.
Substituindo os valores:
\dot E_{\mathrm{cin}}=\tfrac{1}{2}\cdot 18{,}47202293\cdot (1{,}066)^{2}\\ \mathrm{W}.
Calculo intermediário: v^{2}\approx 1{,}1362.
\dot E_{\mathrm{cin}}\approx 0{,}5\cdot 18{,}47202293\cdot 1{,}1362 \approx 10{,}49\\ \mathrm{W}.
Comentário prático: essa potência é pequena porque a velocidade é baixa e, portanto, a energia cinética por unidade de massa é pequena.

Passo 5

Calcular a taxa de energia de pressão (potência associada à pressão).
Explicação do conceito e do que vou usar:
  • A taxa de energia associada à pressão que o fluido carrega é dada por
\dot E_{p}=p_{\mathrm{abs}}\,Q,
onde p_{\mathrm{abs}} é a pressão absoluta no ponto considerado e Q é a vazão volumétrica. A unidade é \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{3}/s}=\mathrm{J/s}=\mathrm{W}.
  • Importante: o enunciado deu pressão manométrica p_{\mathrm{gauge}}=400\\ \mathrm{kPa}. Para usar p em pQ deve-se usar a pressão absoluta relativa ao vácuo, então somo a pressão atmosférica indicada:
p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{atm}}+p_{\mathrm{gauge}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}+400\\ \mathrm{kPa}=501{,}325\\ \mathrm{kPa}.
Converto para pascal:
p_{\mathrm{abs}}=501{,}325\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}=501325\\ \mathrm{Pa}.
Agora calculo:
\dot E_{p}=p_{\mathrm{abs}}\,Q = 501325\cdot 0{,}01944423466\\ \mathrm{W}.
Faço a multiplicação:
\dot E_{p}\approx 9\,747{,}88094\\ \mathrm{W}\approx 9{,}748\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
Comentário: essa potência de pressão é muito maior que a potência cinética aqui porque a pressão absoluta é grande (centenas de kPa) enquanto a velocidade do fluido é baixa.

Passo 6

Resumo e checagem rápida das unidades (pequena verificação didática):
  • \dot m=\rho Q tem unidades \mathrm{kg/m^{3}}\cdot\mathrm{m^{3}/s}=\mathrm{kg/s} — OK.
  • v=Q/A tem unidades \mathrm{m^{3}/s}/\mathrm{m^{2}}=\mathrm{m/s} — OK.
  • \dot E_{\mathrm{cin}}=\tfrac12\dot m v^{2} tem unidades \mathrm{kg/s}\cdot(\mathrm{m^{2}/s^{2}})=\mathrm{J/s}=\mathrm{W} — OK.
  • \dot E_{p}=pQ tem unidades \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{3}/s}=\mathrm{N/m^{2}}\cdot\mathrm{m^{3}/s}=\mathrm{N\cdot m/s}=\mathrm{W} — OK.

Resposta

(a) \dot m=18{,}47\\ \mathrm{kg/s},\; v=1{,}066\\ \mathrm{m/s}
(b) \dot E_{\mathrm{cin}}=10{,}49\\ \mathrm{W},\; \dot E_{p}=9{,}748\times10^{3}\\ \mathrm{W}

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