Sabendo que na equação abaixo (Eq. I) a Fatores de conversão: capacidade calorífica molar encontra-se em \mathrm{btu} /\left(\mathrm{lbmol} .^{\circ} \mathrm{F}\right) e a \mathrm{T} \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{F}, Determine:
\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=25,7+0,0420 \mathrm{~T}\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right)
a) as unidades das constantes \mathbf{2 5 , 7} e \mathbf{0 , 0 4 2 0} (1,0 pt);
b) a equação ( \mathbf{C}_{\mathbf{p m}}=\mathbf{a}+\mathbf{b T} ) que expressa \mathbf{C}_{\mathbf{p m}} em kJ/(kmol.K) e T em { }^{\circ} \mathrm{C}(1,5 \mathrm{pt}).
\(\mathbf{1}\) in \(=\mathbf{2 , 5 4 0 0 0 0} \times \mathbf{1 0}^{-2} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{ft}=3,048000 \times 10^{-1} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{lb}=4,535924 \times 10^{-1} \mathrm{~kg}\);
\(1 \mathrm{btu}=1,055056 \times 10^{3} \mathrm{~J} ;\)
\(1 \mathrm{cal}=4,186800 \mathrm{~J}\);
\(1 \mathrm{dia}=24 \mathrm{~h} ; 1 \mathrm{~h}=60 \mathrm{~min} ; 1 \mathrm{~min}=60 \mathrm{~s} ;\)
\(1 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}=1 \mathrm{psi}\)
\(1 \mathrm{~atm}=1,013250 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{bar}=1,000000 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{psi}=6,894757 \mathrm{kPa}\);
\(1 \mathrm{lbmol}=453,59 \mathrm{~mol}\);
\(\Delta^{\circ} \mathrm{F}=\Delta \mathrm{K} / 1,8\)
\(\mathbf{T}\left({ }^{\circ} \mathbf{F}\right)=\mathbf{1 , 8} \mathbf{T}^{\prime}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right)+\mathbf{3 2}\)

Passo 1

O enunciado dá a equação
\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=25,7+0,0420\;T\left(^{\circ}\mathrm{F}\right)
onde \mathrm{C}_{\mathrm{pm}} está em \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}) e a temperatura T está em {}^{\circ}\mathrm{F}.
O que é pedido:
  • (a) identificar as unidades das constantes 25,7 e 0,0420;
  • (b) escrever a equação equivalente com \mathrm{C}_{\mathrm{pm}} em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}) e T em {}^{\circ}\mathrm{C}.
Vou proceder explicitando as ideias de análise de unidades e depois fazendo as conversões passo a passo.

Passo 2

Regra básica de dimensionalidade: todos os termos somados numa equação numérica devem ter as mesmas unidades. Aqui o termo constante 25,7 e o termo 0,0420\;T devem ter as mesmas unidades de \mathrm{C}_{\mathrm{pm}}, ou seja \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}).
  • Assim, a unidade de 25,7 é \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}).
  • Para 0,0420: quando multiplicado por T em {}^{\circ}\mathrm{F} deve resultar em \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}). Logo a unidade de 0,0420 é
\frac{\mathrm{btu}}{\mathrm{lbmol}\cdot(^{\circ}\mathrm{F})^{2}}.
Uma forma mais interpretativa: 0,0420 tem unidades “por grau Fahrenheit a mais” da unidade de \mathrm{C}_{\mathrm{pm}}; em notação compacta, \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}^{2}).

Passo 3

Para a parte (b) vou transformar a equação completa para a nova variável T(^{\circ}\mathrm{C}) e para as novas unidades de \mathrm{C}_{\mathrm{pm}}.
Passos que farei:
  1. usar a relação entre escalas de temperatura
T(^{\circ}\mathrm{F})=1,8\;T(^{\circ}\mathrm{C})+32.
  1. substituir essa expressão na equação original para obter uma forma \mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=A + B\;T(^{\circ}\mathrm{C}) em unidades originais ( \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}));
  2. converter a unidade energética e a unidade de quantidade de substância e o fator relacionado ao grau de temperatura para passar de \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}) para \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}).
Usarei os fatores fornecidos:
1\\ \mathrm{btu}=1,055056\times10^{3}\\ \mathrm{J}=1,055056\\ \mathrm{kJ},
1\\ \mathrm{lbmol}=453,59\\ \mathrm{mol}=0,45359\\ \mathrm{kmol},
e a relação entre incrementos de escala: 1\\ ^{\circ}\mathrm{F}=5/9\\ \mathrm{K} (equivalente a multiplicar por 9/5=1,8 quando se converte 1/^{\circ}\mathrm{F} em 1/\mathrm{K}). Na prática, para passar de unidade “por {}^{\circ}\mathrm{F}” para “por \mathrm{K}” multiplica-se por 9/5.

Passo 4

Substituindo T(^{\circ}\mathrm{F})=1,8\;T(^{\circ}\mathrm{C})+32 na equação original:
\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=25,7+0,0420\bigl(1,8\;T(^{\circ}\mathrm{C})+32\bigr).
Expandindo:
\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=25,7+0,0420\cdot32+0,0420\cdot1,8\;T(^{\circ}\mathrm{C}).
Calculemos os termos numéricos (mantendo vírgula decimal):
0,0420\cdot32=1,344, \qquad 0,0420\cdot1,8=0,0756.
Portanto, em unidades originais ( \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F})) e com T em {}^{\circ}\mathrm{C},
\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=27,044+0,0756\;T(^{\circ}\mathrm{C}) \qquad\text{(em }\mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F})\text{).}
Observação rápida: a constante intercepto mudou de 25,7 para 27,044 por causa do deslocamento de zero entre as escalas (o termo +32).

Passo 5

Agora converto os coeficientes de \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F}) para \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}). A conversão global multiplicativa (para qualquer quantidade em \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot^{\circ}\mathrm{F})) é:
\text{CF}= \bigl(1,055056\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{btu}\bigr) \cdot\bigl(\tfrac{1000}{453,59}\\ \mathrm{lbmol}/\mathrm{kmol}\bigr) \cdot\bigl(\tfrac{9}{5}\\ \tfrac{1}{\mathrm{K}/{}^{\circ}\mathrm{F}}\bigr).
Explicando cada fator:
  • 1,055056 converte \mathrm{btu} em \mathrm{kJ};
  • \tfrac{1000}{453,59} converte “por \mathrm{lbmol}” em “por \mathrm{kmol}” (pois 1\\ \mathrm{kmol}=1000\\ \mathrm{mol} e 1\\ \mathrm{lbmol}=453,59\\ \mathrm{mol});
  • \tfrac{9}{5}=1,8 ajusta a unidade de temperatura no denominador (de 1/^{\circ}\mathrm{F} para 1/\mathrm{K}).
Calculemos numericamente:
\text{CF}=1,055056\cdot\frac{1000}{453,59}\cdot1,8 =1,055056\cdot2,204622\cdot1,8\approx4,186577.
Agora aplicamos \text{CF} aos coeficientes que temos na forma com T(^{\circ}\mathrm{C}):
A=\text{CF}\cdot27,044,\qquad B=\text{CF}\cdot0,0756.
Cálculos:
A\approx4,186577\cdot27,044\approx113,2208,
B\approx4,186577\cdot0,0756\approx0,316505.
Portanto, na forma desejada (com \mathrm{C}_{\mathrm{pm}} em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}) e T em {}^{\circ}\mathrm{C}) a equação fica
\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=113,2208+0,316505\;T(^{\circ}\mathrm{C})
onde os coeficientes têm as unidades:
  • 113,2208 em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K});
  • 0,316505 em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) (mas como \Delta{}^{\circ}\mathrm{C}=\Delta\mathrm{K}, frequentemente escreve-se simplesmente \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}^{2}) em notação menos explícita — o importante é que multiplicado por T(^{\circ}\mathrm{C}) \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K})).

Resposta

(a) 25,7 tem unidade \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot{}^{\circ}\mathrm{F}).
0,0420 tem unidade \mathrm{btu}/(\mathrm{lbmol}\cdot{}^{\circ}\mathrm{F}^{2}).
(b) \displaystyle \mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=113,2208+0,316505\;T(^{\circ}\mathrm{C}) \left(\mathrm{C}_{\mathrm{pm}}\\ \text{em}\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\cdot\mathrm{K}),\\ T\\ \text{em}\\ ^{\circ}\mathrm{C}\right)

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