Sabendo que na equação abaixo (Eq. I) a Fatores de conversão: capacidade calorífica molar encontra-se em
e a
, Determine:
a) as unidades das constantes
e
(1,0 pt);
b) a equação (
) que expressa
em kJ/(kmol.K) e T em
.
\(\mathbf{1}\) in \(=\mathbf{2 , 5 4 0 0 0 0} \times \mathbf{1 0}^{-2} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{ft}=3,048000 \times 10^{-1} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{lb}=4,535924 \times 10^{-1} \mathrm{~kg}\);
\(1 \mathrm{btu}=1,055056 \times 10^{3} \mathrm{~J} ;\)
\(1 \mathrm{cal}=4,186800 \mathrm{~J}\);
\(1 \mathrm{dia}=24 \mathrm{~h} ; 1 \mathrm{~h}=60 \mathrm{~min} ; 1 \mathrm{~min}=60 \mathrm{~s} ;\)
\(1 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}=1 \mathrm{psi}\)
\(1 \mathrm{~atm}=1,013250 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{bar}=1,000000 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{psi}=6,894757 \mathrm{kPa}\);
\(1 \mathrm{lbmol}=453,59 \mathrm{~mol}\);
\(\Delta^{\circ} \mathrm{F}=\Delta \mathrm{K} / 1,8\)
\(\mathbf{T}\left({ }^{\circ} \mathbf{F}\right)=\mathbf{1 , 8} \mathbf{T}^{\prime}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right)+\mathbf{3 2}\)
b) a equação (
\(\mathbf{1}\) in \(=\mathbf{2 , 5 4 0 0 0 0} \times \mathbf{1 0}^{-2} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{ft}=3,048000 \times 10^{-1} \mathrm{~m} ;\)
\(1 \mathrm{lb}=4,535924 \times 10^{-1} \mathrm{~kg}\);
\(1 \mathrm{btu}=1,055056 \times 10^{3} \mathrm{~J} ;\)
\(1 \mathrm{cal}=4,186800 \mathrm{~J}\);
\(1 \mathrm{dia}=24 \mathrm{~h} ; 1 \mathrm{~h}=60 \mathrm{~min} ; 1 \mathrm{~min}=60 \mathrm{~s} ;\)
\(1 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}=1 \mathrm{psi}\)
\(1 \mathrm{~atm}=1,013250 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{bar}=1,000000 \times 10^{2} \mathrm{kPa} ;\)
\(1 \mathrm{psi}=6,894757 \mathrm{kPa}\);
\(1 \mathrm{lbmol}=453,59 \mathrm{~mol}\);
\(\Delta^{\circ} \mathrm{F}=\Delta \mathrm{K} / 1,8\)
\(\mathbf{T}\left({ }^{\circ} \mathbf{F}\right)=\mathbf{1 , 8} \mathbf{T}^{\prime}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right)+\mathbf{3 2}\)
Passo 1
O enunciado dá a equação
onde
está em
e a temperatura
está em
.
O que é pedido:
- (a) identificar as unidades das constantes
e ; - (b) escrever a equação equivalente com
em e em .
Vou proceder explicitando as ideias de análise de unidades e depois fazendo as conversões passo a passo.
Passo 2
Regra básica de dimensionalidade: todos os termos somados numa equação numérica devem ter as mesmas unidades. Aqui o termo constante
e o termo
devem ter as mesmas unidades de
, ou seja
.
-
Assim, a unidade de
é . -
Para
: quando multiplicado por em deve resultar em . Logo a unidade de é
Uma forma mais interpretativa:
tem unidades “por grau Fahrenheit a mais” da unidade de
; em notação compacta,
.
Passo 3
Para a parte (b) vou transformar a equação completa para a nova variável
e para as novas unidades de
.
Passos que farei:
Passos que farei:
- usar a relação entre escalas de temperatura
- substituir essa expressão na equação original para obter uma forma
em unidades originais ( ); - converter a unidade energética e a unidade de quantidade de substância e o fator relacionado ao grau de temperatura para passar de
para .
Usarei os fatores fornecidos:
e a relação entre incrementos de escala:
(equivalente a multiplicar por
quando se converte
em
). Na prática, para passar de unidade “por
” para “por
” multiplica-se por
.
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Expandindo:
Calculemos os termos numéricos (mantendo vírgula decimal):
Portanto, em unidades originais (
) e com
em
,
Observação rápida: a constante intercepto mudou de
para
por causa do deslocamento de zero entre as escalas (o termo
).
Passo 5
Agora converto os coeficientes de
para
. A conversão global multiplicativa (para qualquer quantidade em
) é:
Explicando cada fator:
-
converte em ; -
converte “por ” em “por ” (pois e ); -
ajusta a unidade de temperatura no denominador (de para ).
Calculemos numericamente:
Agora aplicamos
aos coeficientes que temos na forma com
:
Cálculos:
Portanto, na forma desejada (com
em
e
em
) a equação fica
onde os coeficientes têm as unidades:
-
em ; -
em (mas como , frequentemente escreve-se simplesmente em notação menos explícita — o importante é que multiplicado por dá ).
Resposta
(a)
tem unidade
.
tem unidade
.
(b)