Questão (25) Um bocal convergente com área de saida de
opera isentropicamente com ar entre um reservatório em condições de estagnaçāo de 140 kPa (absoluta) e 500 K e um reservatório de contrapressāo variável. Calcule a pressāo e o número de Mach na saída se a contrapressão for (a) 100 kPa e (b) 50 kPa . (c) Calcule a vazão em massa no item (b).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e quais são as perguntas (peguei todos os números do enunciado).
-
Dados do problema:
- Pressão de estagnação:
. - Temperatura de estagnação:
. - Área de saída do bocal convergente:
. - Ar perfeito com constantes (valores padrão usados aqui):
e .
- Pressão de estagnação:
-
O que o enunciado pede:
- (a) Se a contrapressão for
: calcular a pressão de saída e o número de Mach na saída. - (b) Se a contrapressão for
: calcular a pressão de saída e o número de Mach na saída. - (c) Para o caso (b): calcular a vazão mássica
.
- (a) Se a contrapressão for
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas devagarinho).
- Relação isentrópica entre pressão total
, pressão estática e Mach :
Essa fórmula vem da combinação da conservação de energia (para fluxo adiabático e sem trabalho) com a equação de estado do gás perfeito. Nela:
-
é a pressão de estagnação (reservatório), -
é a pressão estática em algum ponto (aqui, a saída), -
é o número de Mach local, -
é razão de capacidades térmicas.
- Inverter a fórmula para obter
a partir de :
- Pressão crítica (quando o Mach alcança
no bocal): a razão crítica é
Se a contrapressão (pressão ambiente atrás do jato) for maior que
, o escoamento na saída será sub-sônico e a pressão de saída ajusta-se à contrapressão (isto é,
). Se a contrapressão for menor que
, o escoamento fica “engarrafado” (choked) e a saída alcança
e
— a vazão mássica não aumenta mais reduzindo a contrapressão.
- Para calcular vazão mássica em condição de estrangulamento (saída com
), uso:
com
e
. Em
temos ainda
Substituindo e simplificando obtém-se a forma direta (muito usada):
Vou usar a derivação direta por densidade e velocidade, que é mais transparente passo a passo.
Passo 3
Cálculo da pressão crítica
(valores numéricos):
Logo
Comparação com as contrapressões dadas:
- Para (a):
→ escoamento sub-sônico na saída (não choked). - Para (b):
→ escoamento choked; saída com e .
Passo 4
Resolvendo (a) — contrapressão
(sub-sônico).
Em escoamento sub-sônico no bocal convergente, a pressão de saída ajusta-se à contrapressão:
Agora calculo o Mach de saída usando a relação invertida. Primeiro a razão
:
Aplicando
Calculando a potência:
logo
e então
Passo 5
Resolvendo (b) — contrapressão
(choked).
Como vimos,
, então o escoamento estrangula e na saída fica:
Passo 6
Cálculo da vazão mássica para o item (b) (saída choked,
) — passo a passo numérico.
- Temperatura estática na saída (para
):
Com
:
- Pressão estática na saída (já calculada):
- Densidade na saída pela equação de estado:
- Velocidade na saída (com
):
Calculo numérico:
- Vazão mássica:
Arredondando com um número de algarismos razoável:
.
Resposta
(a)
,
(b)
,
(c)