4{ }^{\text {a }} Questão (25) Um bocal convergente com área de saida de 5 \mathrm{~cm}^{2} opera isentropicamente com ar entre um reservatório em condições de estagnaçāo de 140 kPa (absoluta) e 500 K e um reservatório de contrapressāo variável. Calcule a pressāo e o número de Mach na saída se a contrapressão for (a) 100 kPa e (b) 50 kPa . (c) Calcule a vazão em massa no item (b).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e quais são as perguntas (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados do problema:
    • Pressão de estagnação: \,P_0=140\\ \text{kPa}.
    • Temperatura de estagnação: \,T_0=500\\ \text{K}.
    • Área de saída do bocal convergente: \,A=5\\ \text{cm}^2 = 5\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
    • Ar perfeito com constantes (valores padrão usados aqui): \,\gamma=1{,}4 e \,R=287\\ \text{J/(kg·K)}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Se a contrapressão for \,100\\ \text{kPa}: calcular a pressão de saída e o número de Mach na saída.
    • (b) Se a contrapressão for \,50\\ \text{kPa}: calcular a pressão de saída e o número de Mach na saída.
    • (c) Para o caso (b): calcular a vazão mássica \,\dot m.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas devagarinho).
  1. Relação isentrópica entre pressão total \,P_0, pressão estática \,P e Mach \,M:
\frac{P_0}{P}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Essa fórmula vem da combinação da conservação de energia (para fluxo adiabático e sem trabalho) com a equação de estado do gás perfeito. Nela:
  • \,P_0 é a pressão de estagnação (reservatório),
  • \,P é a pressão estática em algum ponto (aqui, a saída),
  • \,M é o número de Mach local,
  • \,\gamma é razão de capacidades térmicas.
  1. Inverter a fórmula para obter \,M a partir de \,P_0/P:
1+\frac{\gamma-1}{2}M^2=\left(\frac{P_0}{P}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \quad\Rightarrow\quad M^2=\frac{2}{\gamma-1}\left[\left(\frac{P_0}{P}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}-1\right].
  1. Pressão crítica (quando o Mach alcança \,1 no bocal): a razão crítica \,P^*/P_0 é
\frac{P^*}{P_0}=\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Se a contrapressão (pressão ambiente atrás do jato) for maior que \,P^*, o escoamento na saída será sub-sônico e a pressão de saída ajusta-se à contrapressão (isto é, \,P_e=p_b). Se a contrapressão for menor que \,P^*, o escoamento fica “engarrafado” (choked) e a saída alcança \,M=1 e \,P_e=P^* — a vazão mássica não aumenta mais reduzindo a contrapressão.
  1. Para calcular vazão mássica em condição de estrangulamento (saída com \,M=1), uso:
\dot m = \rho_e A v_e,
com \,\rho_e = \dfrac{P_e}{R T_e} e \,v_e = M\sqrt{\gamma R T_e}. Em \,M=1 temos ainda
T_e=\frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2}=\frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}}.
Substituindo e simplificando obtém-se a forma direta (muito usada):
\frac{\dot m}{A}=\frac{P_0}{\sqrt{T_0}}\sqrt{\frac{\gamma}{R}} \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}.
Vou usar a derivação direta por densidade e velocidade, que é mais transparente passo a passo.

Passo 3

Cálculo da pressão crítica \,P^* (valores numéricos):
\frac{P^*}{P_0}=\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} =\left(\frac{2}{1{,}4+1}\right)^{\!3{,}5} =\left(\frac{2}{2{,}4}\right)^{3{,}5} =\left(0{,}833333\ldots\right)^{3{,}5}\approx 0{,}528282.
Logo
P^*=0{,}528282\;P_0=0{,}528282\times140\\ \text{kPa}\approx73{,}96\\ \text{kPa}.
Comparação com as contrapressões dadas:
  • Para (a): p_b=100\\ \text{kPa} > P^* → escoamento sub-sônico na saída (não choked).
  • Para (b): p_b=50\\ \text{kPa} < P^* → escoamento choked; saída com M=1 e P_e=P^*.

Passo 4

Resolvendo (a) — contrapressão \,p_b=100\\ \text{kPa} (sub-sônico).
Em escoamento sub-sônico no bocal convergente, a pressão de saída ajusta-se à contrapressão:
P_e=p_b=100\\ \text{kPa}.
Agora calculo o Mach de saída usando a relação invertida. Primeiro a razão \dfrac{P_0}{P_e}:
\frac{P_0}{P_e}=\frac{140}{100}=1{,}4.
Aplicando
M^2=\frac{2}{\gamma-1}\left[\left(\frac{P_0}{P_e}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}-1\right] =\frac{2}{0{,}4}\left[1{,}4^{0{,}4/1{,}4}-1\right].
Calculando a potência:
1{,}4^{\tfrac{0{,}4}{1{,}4}}=1{,}4^{0{,}285714\ldots}\approx1{,}100914,
logo
M^2=5\left[1{,}100914-1\right]=5(0{,}100914)=0{,}50457,
e então
M\approx\sqrt{0{,}50457}\approx0{,}710.

Passo 5

Resolvendo (b) — contrapressão \,p_b=50\\ \text{kPa} (choked).
Como vimos, \,p_b<P^*, então o escoamento estrangula e na saída fica:
M=1,\qquad P_e=P^*\approx73{,}96\\ \text{kPa}.

Passo 6

Cálculo da vazão mássica para o item (b) (saída choked, M=1) — passo a passo numérico.
  1. Temperatura estática na saída (para M=1):
T_e=\frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2} =\frac{T_0}{1+\dfrac{0{,}4}{2}\cdot1^2} =\frac{T_0}{1+0{,}2}=\frac{T_0}{1{,}2}.
Com \,T_0=500\\ \text{K}:
T_e=\frac{500}{1{,}2}\approx416{,}6667\\ \text{K}.
  1. Pressão estática na saída (já calculada):
P_e=P^*\approx73{,}96\\ \text{kPa}=73\,959{,}5\\ \text{Pa}.
  1. Densidade na saída pela equação de estado:
\rho_e=\frac{P_e}{R T_e} =\frac{73\,959{,}5}{287\times416{,}6667} \approx0{,}61858\\ \text{kg/m}^3.
  1. Velocidade na saída (com M=1):
v_e=M\sqrt{\gamma R T_e}=\sqrt{\gamma R T_e}.
Calculo numérico:
\gamma R T_e=1{,}4\times287\times416{,}6667\approx167\,416{,}67
v_e\approx\sqrt{167\,416{,}67}\approx409{,}17\\ \text{m/s}.
  1. Vazão mássica:
\dot m=\rho_e A v_e =0{,}61858\times(5\times10^{-4})\times409{,}17 \approx0{,}1266\\ \text{kg/s}.
Arredondando com um número de algarismos razoável: \dot m\approx0{,}127\\ \text{kg/s}.

Resposta

(a) P_e=100\\ \text{kPa}, M\approx0{,}710
(b) P_e\approx73{,}96\\ \text{kPa}, M=1{,}00
(c) \dot m\approx0{,}127\\ \text{kg/s}

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