(a) Um fluido gira com velocidade angular constante omega em relação ao eixo vertical central de um reservatório cilíndrico. Mostre que a variação da pressão na direção radial é expressa por
d pd r=rho omega^2 r
(b) Faça p=pc no eixo de rotação (r=0) e mostre que a pressão p em um ponto qualquer a uma distância r vale
p=pc+12 rho omega^2 r
© Mostre que a superfície do líquido possui a forma parabolóide de revolução; isto é, uma seção transversal vertical da superfície pode ser representada pela curva y=omega^2 r^2 / 2 g.
(d) Mostre que a variação da pressão com a profundidade é p=rho g h.

Passo 1

Beleza, o problema diz que um fluido dentro de um cilindro gira com velocidade angular constante ω em torno do eixo vertical. A matéria aqui é estática de fluidos em rotação e pressão hidrostática. Para resolver você vai precisar:
  1. Fazer o balanço de forças na direção radial (centrífuga × pressão).
  2. Integrar dp/dr para achar p®.
  3. Usar condição de superfície livre (p constante) pra desenhar o perfil y®.
  4. Mostrar o clássico p=ρgh pra variação vertical de pressão.

Passo 2

Parte (a): derivar dp/dr = ρ ω² r
  1. Pense num anelzinho de fluido entre r e r+dr, altura unitária.
  2. Força centrífuga que empurra pra fora: dF_c = massa× aceleração = (ρ·2πr dr·1)·(ω²r).
  3. Força de pressão resultante no anel: dF_p = p®·(área interna) – p(r+dr)·(área externa) ≃ –(dp/dr)·dr·2πr.
  4. Em equilíbrio: dF_p + dF_c = 0 → –(dp/dr)·dr·2πr + ρ·2πr dr·ω²r = 0
  5. Simplificando por 2πr dr: –dp/dr + ρ ω²r = 0 → dp/dr = ρ ω² r

Passo 3

Parte (b): achar p® com p(0)=p_c
  1. A gente integra dp/dr = ρ ω² r em r de 0 até r: integralpc^p(r) dp = integral0^r rho,omega^2,r',dr'
    2) O lado direito dá ρ ω²·(r²/2).
    3) Logo
    $$p® - p_c = \tfrac12,\rho,\omega2,r2\quad\Longrightarrow\quadp®=p_c+\tfrac12,\rho,\omega2,r2.$$

Passo 4

Parte ©: forma da superfície livre y®
  1. Na superfície do líquido a pressão interna vale a pressão ambiente (constante).
  2. Mas também há variação de p vertical pela gravidade: se definirmos y® como a altura da superfície acima do eixo z=0, então internamente p(r) = pc + tfrac12,rho,omega^2,r^2 - rho,g,[y(r)-0]
    (é como se o ponto r, y estivesse “abaixado” pela gravidade).
    3) Impondo que p®=p_amb independe de r e ajustando a constante, a única forma é
    y(r)=omega^2,r^22,g,que é um parabolóide de revolução.

Passo 5

Parte (d): variação p = ρ g h
  1. Se você ficar só mudando a profundidade h numa coluna de fluido parado, a pressão sobe classicamente de acordo com dp/dh = rho,g,,
    2) Integrando de 0 até h dá
    p(h)=p(0)+rho,g,h
Isso mostra o famoso resultado da hidroestática.

Resposta

(a) dpdr=rho,omega^2,r
(b) p(r)=pc+tfrac12,rho,omega^2,r^2
© y(r)=omega^2,r^22,g
(d) p=rho,g,h

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