(a) Um fluido gira com velocidade angular constante
em relação ao eixo vertical central de um reservatório cilíndrico. Mostre que a variação da pressão na direção radial é expressa por
(b) Faça
no eixo de rotação
e mostre que a pressão
em um ponto qualquer a uma distância r vale
© Mostre que a superfície do líquido possui a forma parabolóide de revolução; isto é, uma seção transversal vertical da superfície pode ser representada pela curva
.
(d) Mostre que a variação da pressão com a profundidade é
.
(b) Faça
(d) Mostre que a variação da pressão com a profundidade é
Passo 1
Beleza, o problema diz que um fluido dentro de um cilindro gira com velocidade angular constante ω em torno do eixo vertical. A matéria aqui é estática de fluidos em rotação e pressão hidrostática. Para resolver você vai precisar:
- Fazer o balanço de forças na direção radial (centrífuga × pressão).
- Integrar dp/dr para achar p®.
- Usar condição de superfície livre (p constante) pra desenhar o perfil y®.
- Mostrar o clássico p=ρgh pra variação vertical de pressão.
Passo 2
Parte (a): derivar dp/dr = ρ ω² r
- Pense num anelzinho de fluido entre r e r+dr, altura unitária.
- Força centrífuga que empurra pra fora: dF_c = massa× aceleração = (ρ·2πr dr·1)·(ω²r).
- Força de pressão resultante no anel: dF_p = p®·(área interna) – p(r+dr)·(área externa) ≃ –(dp/dr)·dr·2πr.
- Em equilíbrio: dF_p + dF_c = 0 → –(dp/dr)·dr·2πr + ρ·2πr dr·ω²r = 0
- Simplificando por 2πr dr: –dp/dr + ρ ω²r = 0 → dp/dr = ρ ω² r
Passo 3
Parte (b): achar p® com p(0)=p_c
- A gente integra dp/dr = ρ ω² r em r de 0 até r:
2) O lado direito dá ρ ω²·(r²/2).
3) Logo
$$p® - p_c = \tfrac12,\rho,\omega2,r2\quad\Longrightarrow\quadp®=p_c+\tfrac12,\rho,\omega2,r2.$$
Passo 4
Parte ©: forma da superfície livre y®
- Na superfície do líquido a pressão interna vale a pressão ambiente (constante).
- Mas também há variação de p vertical pela gravidade: se definirmos y® como a altura da superfície acima do eixo z=0, então internamente
(é como se o ponto r, y estivesse “abaixado” pela gravidade).
3) Impondo que p®=p_amb independe de r e ajustando a constante, a única forma é
que é um parabolóide de revolução.
Passo 5
Parte (d): variação p = ρ g h
- Se você ficar só mudando a profundidade h numa coluna de fluido parado, a pressão sobe classicamente de acordo com
2) Integrando de 0 até h dá
Isso mostra o famoso resultado da hidroestática.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)