Água escoa saindo de uma mangueira de raio 0,05 \mathrm{~m} a velocidade aproximadamente unifome de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída, a seção transversal do escoamento diminui em 20 \%. A água atinge horizontalmente um bloco de massa m=12 \mathrm{~kg} que está inicialmente parado sobre uma superfície de coeficiente de atrito \mu=0,2. Considere que ao acertar o bloco a água é desviada perpendicularmente com relação a superfície de contato. Determine a velocidade máxima que o bloco atinge nessas condições sendo empurrado continuamente pelo jato e a potência transferida pelo jato d’água para o bloco em função da diferença entre as velocidades do jato e do bloco.

Passo 1

O enunciado descreve um jato de água que sai de uma mangueira de raio \,0,05\mathrm{\,m} com velocidade uniforme de \,50\mathrm{\,m/s}. Na saída há uma contração de 20\% da área, e o jato atinge horizontalmente um bloco de massa m=12\mathrm{\,kg} sobre uma superfície com coeficiente de atrito \mu=0,2. Ao acertar, a água é desviada perpendicularmente à superfície.
Conteúdo: conservação de massa (continuidade), princípio da quantidade de movimento para escoamento estacionário, equilíbrio de forças de atrito e determinação de potência.

Passo 2

Para achar a velocidade de saída \,u e a vazão mássica \dot m usamos continuidade:
a área da mangueira é
A_{\rm mangueira}=\pi (0,05)^2\mathrm{\,m^2},
na saída a área reduz em 20\%, logo
A_{\rm saída}=0,8\,A_{\rm mangueira}.í
Como \,Q=A_{\rm mangueira}\times50=A_{\rm saída}\times uí, segue
u=\frac{50}{0,8}=62{,}5\mathrm{\,m/s}.
A vazão mássica é
\dot m=\rho\,A_{\rm saída}\,u =1000\cdot\bigl(0,8\pi(0,05)^2\bigr)\cdot62{,}5 \approx392{,}7\mathrm{\,kg/s}.í

Passo 3

Pelo princípio da quantidade de movimento em regime estacionário, a força horizontal que o jato exerce no bloco vale
F=\dot m\,(v_i - v_f).
Aqui a componente horizontal do jato chega com velocidade relativa ao bloco igual a (u - v) e sai com 0 nessa direção, portanto
F=\dot m\,\bigl(u - v\bigr).

Passo 4

O bloco alcança velocidade máxima v_{\max} quando essa força do jato equilibra a força de atrito \,F_{\rm atr}=\mu m g, ou seja
\dot m\,(u - v_{\max})=\mu m g \quad\Longrightarrow\quad v_{\max} = u \;-\;\frac{\mu m g}{\dot m}.
Substituindo valores:
v_{\max} =62{,}5 \;-\;\frac{0,2\cdot12\cdot9,8}{392{,}7} \approx62{,}44\mathrm{\,m/s}.

Passo 5

A potência instantânea transferida pelo jato ao bloco é o produto da força pelo deslocamento por unidade de tempo, ou seja
P = F\;v =\dot m\,(u - v)\;v.

Resposta

A velocidade máxima do bloco é
v_{\max} = u \;-\;\frac{\mu m g}{\dot m} \approx62{,}44\mathrm{\,m/s}.
A potência transferida pelo jato em função da diferença entre velocidades (u - v) é
P(v)=\dot m\,(u - v)\;v.

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