Um fluido incompressível, não viscoso e de densidade constante \rho escoa em regime permanente por um tubo horizontal. O tubo apresenta duas seções transversais circulares:
Seção 1: diâmetro \mathrm{D}_{1}, velocidade média \mathrm{V}_{1} \mathrm{e} pressão \mathrm{p}_{1};
Seção 2: diâmetro \mathrm{D}_{2}=\mathrm{D}_{1} / 2, velocidade média \mathrm{V}_{2} e pressão \mathrm{p}_{2}.
Admite-se que o escoamento é permanente, o fluido é ideal, o tubo é horizontal (não há variação de energia potencial gravitacional) e o escoamento é unidimensional nas seções consideradas. Com base nas equações da continuidade e de Bernoulli, a diferença de pressão p_{1}-p_{2} vale:
a) \rho V_{1}{ }^{2} / 2.
b) 3 \rho V_{1}^{2} / 2.
c) 15 \rho V_{1}{ }^{2} / 2.
d) \rho V_{1}{ }^{2} / 8.
e) 2 \rho V_{1}{ }^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente a diferença de pressão p_{1}-p_{2}:
  • Escoamento: incompressível, não viscoso, regime permanente e unidimensional nas seções consideradas.
  • Tubo horizontal (não há variação de energia potencial gravitacional).
  • Seção 1: diâmetro \mathrm{D}_{1}, velocidade média \mathrm{V}_{1} e pressão \mathrm{p}_{1}.
  • Seção 2: diâmetro \mathrm{D}_{2}=\mathrm{D}_{1}/2, velocidade média \mathrm{V}_{2} e pressão \mathrm{p}_{2}.
  • Densidade constante do fluido: \rho.
Pergunta: calcular o valor de p_{1}-p_{2} e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Aplicar a equação da continuidade (conservação de massa) para escoamento incompressível e permanente. A equação diz que a vazão volumétrica é constante nas seções:
A_{1}V_{1}=A_{2}V_{2},
onde A é a área da seção transversal e V a velocidade média. Para seções circulares
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Calcule a razão entre as áreas usando \mathrm{D}_{2}=\mathrm{D}_{1}/2:
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{\pi(D_{2})^{2}/4}{\pi(D_{1})^{2}/4}=\left(\frac{D_{2}}{D_{1}}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
Portanto A_{2}=\dfrac{1}{4}A_{1}. Substituindo na continuidade:
A_{1}V_{1}=A_{2}V_{2}\quad\Rightarrow\quad V_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}}V_{1}=4V_{1}.

Passo 3

Apresentar e explicar a equação de Bernoulli para fluido ideal, escoamento permanente e ao longo da mesma linha de corrente:
p+\tfrac{1}{2}\rho V^{2}+\rho g z=\text{constante}.
Aqui p é a pressão, \rho a densidade, V a velocidade e z a cota (altitude). Como o tubo é horizontal, não há variação de z entre as seções 1 e 2 ( z_1=z_2), então os termos \rho g z se cancelam ao aplicar entre duas seções. Assim, entre as seções 1 e 2 fica:
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho V_{1}^{2}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho V_{2}^{2}.

Passo 4

Isolar a diferença de pressão a partir da expressão de Bernoulli:
p_{1}-p_{2}=\tfrac{1}{2}\rho\bigl(V_{2}^{2}-V_{1}^{2}\bigr).
Substituir V_{2}=4V_{1} (obtido no Passo 2):
V_{2}^{2}-V_{1}^{2}=(4V_{1})^{2}-V_{1}^{2}=16V_{1}^{2}-V_{1}^{2}=15V_{1}^{2}.
Logo
p_{1}-p_{2}=\tfrac{1}{2}\rho\cdot 15V_{1}^{2}=\frac{15}{2}\rho V_{1}^{2}.

Passo 5

Comparar com as alternativas fornecidas: a expressão obtida é exatamente a alternativa (c).

Resposta

c) \dfrac{15}{2}\rho V_{1}^{2}

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